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1 Ecole Mohammadia d’Ingénieurs 3ème année TD 6 SED Réseaux de files d’attente

1 Ecole Mohammadia d’Ingénieurs 3ème année TD 6 SED Réseaux de files d’attente Exercice 1 Un organisme public est ouvert, chaque jour ouvrable, de 9h à 17h sans interruption. Il accueille en moyenne 64 usagers par jour. Un guichet unique sert à traiter le dossier de chaque usager, ceci dans un temps moyen de 2 mn 30. Les usagers font la queue dans l’ordre de leur arrivée. Même si la queue est importante, on ne refuse aucun usager. Une étude statistique a permis de conclure que la durée aléatoire des services suit une loi exponentielle et que les arrivées des usagers forment un processus de Poisson. On suppose que le régime permanent est rapidement atteint. 1- Donner la notation de Kendall de cette file d’attente, le temps moyen passé à attendre et le temps moyen passé dans l’organisme par chaque usager. 2- Quelle est, en moyenne et par heure, la durée pendant laquelle l’employé du guichet ne s’occupe pas des usagers ? 3- Quelle est la probabilité d’observer une file d’attente de plus de k usagers derrière celui en cours de service ? 4- Quelle est la probabilité qu’un usager passe plus d’un quart d’heure dans l’organisme ? Exercice 2 On dispose de deux machines en parallèle qui ont un stock d’entrée commun et on envisage de les remplacer par une machine deux fois plus rapide. Les pièces arrivent suivant un processus de Poisson de taux , et le temps de service des machines est distribué exponentiellement (taux  pour la machine unique et /2 pour les deux machines en parallèle). Comparer les performances de la machine unique à celles des deux machines en parallèle. Exercice 3 Une station de production reçoit des pièces (toujours disponibles à l’entrée) et les traite avec un taux de 12 pièces/h avec des temps de service exponentiellement distribués. Chaque pièce nécessite d’être placée sur une platine spéciale avant le traitement. Il y a n platines disponibles et les temps de chargement/déchargement de platine sont exponentiellement distribués avec une moyenne de 15 mn. Quel est le nombre minimal de platines à prévoir pour que le temps moyen d’attente d’une pièce soit inférieur à 2 mn ? Dans ce cas, l’utilisation est-elle au moins égale à 80% ? 2 Exercice 4 On considère une machine précédée d’un buffer d’entrée de capacité limitée. On voudrait que pas plus de 10% des pièces qui arrivent soient bloquées. On suppose que les temps inter-arrivées des pièces sont exponentiellement distribués avec un taux l = 1 p/mn. On a le choix entre 3 machines : m = 0,5 p/mn, coût : 1000 Dhs m = 1,2 p/mn, coût : 3000 Dhs m = 2 p/mn, coût : 5000 Dhs De plus, le coût d’un espace de stockage est de 800 Dhs. Quel est le meilleur choix ? Exercice 5 La fabrication de certaines pièces nécessite l’usinage par deux machines successives M1 et M2. Des pièces brutes sont toujours disponibles devant M1 et quand une pièce a terminé son usinage sur M2, elle quitte le système. Le temps d’usinage sur M1 (resp. M2) est distribué suivant une loi exponentielle de taux 1 (resp. 2). Quand l’usinage sur M1 est terminé, la pièce est transférée sur M2 si M2 est libre. Si M2 est en cours d’usinage d’une pièce, la pièce de M1 reste bloquée sur la machine jusqu’à ce que la place se libère sur M2. 1- En considérant que les trois états possibles du système sont : état 1 : M1 occupée, M2 libre état 2 : M1 occupée, M2 occupée état 3 : M1 bloquée, M2 occupée a) Donner le graphe de la chaîne de Markov correspondante. b) Calculer la probabilité stationnaire de chacun des trois états. c) En déduire, dans le cas 1 = 2 : -le taux d’utilisation de chaque machine. -la productivité du système en pièces par unité de temps (c’est-à-dire le débit de sortie). 2- Il existe maintenant une place de stock entre les deux machines. Ceci signifie que la machine M1 ne sera bloquée que si M2 est en train de travailler et s’il y a une pièce dans le stock. a) Définir les 4 états possibles du système et donner la nouvelle chaîne de Markov. Calculer les probabilités stationnaires. b) Calculer la productivité du système pour 1 = 2. c) Toujours dans le cas 1 = 2, généraliser au cas où le stock intermédiaire a une capacité de N pièces. 3- Donner la chaîne de Markov correspondant au cas trois machines, sans stock intermédiaire, avec les mêmes règles de fonctionnement à savoir : - la première machine a toujours des pièces à sa disposition, - une pièce qui vient d’être usinée sur la dernière machine quitte le système, - une pièce terminée sur une machine est transférée sur la suivante si elle est libre, sinon elle attend sur place qu’elle le devienne. 3 Exercice 6 On considère un réseau de files d’attente constitué de M=5 stations à serveurs simples. Le processus des arrivées est poissonien de taux . Les temps de service de chacune des stations i, i=1,…,5, ont une distribution exponentielle de taux i. Les routages sont probabilistes et ont les valeurs suivantes : p01 = 0,4 ; p02 = 0,6 ; p13 = 0,5 ; p14 = 0,5 ; p24 = 0,2 ; p25 = 0,8 ; p31 = 1 ; p40 = 1 ; p50 = 1. Toutes les autres probabilités de transition sont nulles. 1) Déterminer le modèle RFA correspondant à ce système, en précisant bien tous ses paramètres. Faire un schéma. 2) Calculer les taux de visite aux différentes stations. 3) Déterminer la condition de stabilité du système. 4) Sous l’hypothèse que le système est stable, donner l’expression du temps moyen de séjour d’un client dans ce système. Exercice 7 On considère un système de production dans lequel les opérations sont réalisées sur cinq machines M1, M2, M3, M4 et M5. Les temps de service sur ces cinq machines sont exponentiellement distribués avec les taux 1 = 2 pièces/ min, 2 = 1,75 pièces/ min, 3 = 2,2 pièces/ min, 4 = 1 pièce/ min et 5 = 0,5 pièce/ min. Toutes les pièces arrivent à l’entrée de M1 selon un processus de Poisson de taux r1 = 1 pièce/ min. Après le traitement sur M1, une fraction p14 = 0,2 des pièces est envoyée vers la machine M4, et le reste des pièces est envoyé vers M2. Toutes les pièces ayant été traitées sur M4 retournent vers M1 pour un cycle supplémentaire sur cette machine. Les pièces traitées sur M2 sont toutes routées vers M3. Après le traitement sur M3, une fraction p34 = 0,2 des pièces est envoyée vers M4, une autre fraction p35 = 0,2 est envoyée vers la machine M5, et toutes les autres pièces quittent le système. Enfin toutes les pièces ayant été traitées sur M5 retournent vers M2. 1) Déterminer le modèle RFA correspondant à ce système, en précisant bien tous ses paramètres. Faire un schéma. 2) Ce RFA est-il à forme produit ? Justifier la réponse. 3) Donner les expressions des taux d’arrivée 1, 2, 3, 4 et 5 à chaque station, en fonction de r1, p14, p34 et p35. En déduire les expressions des taux d’utilisation 1, 2,3,4,5 des cinq machines en fonction de 1, 2, 3, 4, 5, r1, p14, p34 et p35. Donner les valeurs numériques des taux d’arrivée et des taux d’utilisation. 4) Calculer le débit du système (c’est-à-dire le taux de pièces finies qui quittent M3). Ce résultat était-il prévisible ? 5) Donner l’expression des probabilités stationnaires. 6) Calculer le nombre moyen de clients dans chaque station. En déduire le nombre moyen de clients dans l’ensemble du système. En utilisant la loi de Little, en déduire le temps moyen de séjour des pièces dans ce système de production. 7) Calculer la probabilité pour que la longueur de la file d’attente pour M2 (serveur inclus) soit supérieure à trois pièces. Exercice 8 On considère un atelier contenant deux centres d’usinage (CU1 et CU2), un poste d’inspection (IN) et un poste de réparation (REPAR). Les pièces arrivent dans l’atelier (arrivée poissonienne) avec un taux moyen et vont, soit au poste CU1 avec une probabilité p01, soit au poste CU2 avec une probabilité p02. (Au poste CU1 le temps moyen de service est T1, et au poste CU2 il est de T2). Les pièces quittant CU1 et CU2 sont mises sur un convoyeur (CV) qui les emmène au poste d’inspection au bout d’un temps moyen T3. Après 4 avoir passé un temps moyen T4 à l’inspection, une proportion p40 des pièces quittent l’atelier et les autres vont au poste de réparation où elles passent un temps moyen T5 avant de retourner à l’inspection. On suppose que tous les temps de service et de convoyage sont distribués exponentiellement. 1) Déterminer le modèle RFA de l’atelier. 2) En supposant qu’il existe un régime stationnaire, donner le débit de chacune des stations en fonction de . On prendra p01 = p02 = uploads/Industriel/ td-n06.pdf