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1 Université Akli Mohand Oulhadj « Bouira » Faculté des Sciences et des Science

1 Université Akli Mohand Oulhadj « Bouira » Faculté des Sciences et des Sciences Appliquées Département de génie civile Melle : MAHMOUDI M Polycopié de Travaux Pratiques : Méthodes Numériques 2 Références 1‐ C. Brezinski, Introduction à la pratique du calcul numérique, Dunod, Paris 1988. 2‐ G. Allaire et S.M. Kaber, Algèbre linéaire numérique, Ellipses, 2002. 3‐ G. Allaire et S.M. Kaber, Introduction à Scilab. Exercices pratiques corrigés d'algèbre linéaire, Ellipses, 2002. 4‐ G. Christol, A. Cot et C.‐M. Marle, Calcul différentiel, Ellipses, 1996. 5‐ M. Crouzeix et A.‐L. Mignot, Analyse numérique des équations différentielles, Masson, 1983. 6‐ S. Delabrière et M. Postel, Méthodes d'approximation. Équations différentielles. Applications Scilab, Ellipses, 2004. 7‐ J.‐P. Demailly, Analyse numérique et équations différentielles. Presses Universitaires de Grenoble, 1996. 8‐ E. Hairer, S. P. Norsett et G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations, Springer, 1993. 9‐ P. G. Ciarlet, Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation, Masson, Paris, 1982. 10‐ M. Lakrib, Cours d’analyse numérique, OPU Alger 2008. 11‐ B. Demidovitch, I. Maron, Elément de calcul numérique, Ed. MIR, Moscou, 1979. 12- Dr. S. Karoui « Travaux Pratiques :Méthodes Numériquesanalyse numérique » 3 ( ) Module : Méthodes Numériques But du TP : Durant ce TP, nous allons mettre en œuvre les algorithmes des méthodes de résolution des équations non linéaires étudiées pendant le cours : la bissection , point fixe et Newton- Raphson . Rappel sur les différentes méthodes : Bissection : 1‐ Existence et unicité de la solution : Si la fonction ƒ(x) est définie et continue et strictement monotone sur l’intervalle (a, b) et que ƒ(a) × ƒ(b)˂ 0, alors ƒ(x)=0 n’a qu’une solution x× dans cet intervalle. 2‐ Approximation de la solution: On calcule « c »par l’expression a+ b c = 2 On compare ensuite ƒ(c) avec ƒ(a) et ƒ(b) pour déterminer l’intervalle de la solution et on recommence le calcul de c itérativement jusqu'à ce que : |xn — xn–1| ˂ε . Le nombre n d’itérations nécessaire pour avoir une approximation de la solution Log(b—a) à ε près est :n ≤ Log 2 TP 1 : Résolution des équations non linéaires ε Université Akli Mohand Oulhadj « Bouira » Faculté des Sciences et des Sciences Appliquées Département de génie civile 4 Point fixe Il faut réécrire l’équation ƒ(x) = 0 sous la forme x = g(x), La condition de convergence suffisante mais pas nécessaire est : |g(x)| ˂1 pour tout x appartenant a l’intervalle [a,b] Pour approximer la solution de l’équation On part de la valeur initiale xO = …, On calcule itérativement les valeurs de xn par : xn = g(xn–1) Newton-Raphson L’algorithme de Newton-Raphson est : Les critères d’arrêts peuvent être |xn — xn–1| ˂ ε ou le nombre d’etiration donné ou calculé 5 Méthodologie : Pour mettre en œuvre les algorithmes, nous allons écrire des programmes (scripts) sous Matlab. Un script (ou .m) est un fichier ASCII qui contient une succession d’instructions et d’opérations, et exécutable depuis la fenêtre de commande ou de la fenêtre d’édition. Pour écrire un script, il suffit de sélectionner l’icône « New Script » dans le menu principal du Matlab. A l’ouverture d’une fenêtre d’édition (Editor), on saisit le programme puis on le sauvegarde dès qu’on termine. Pour l’exécuter, on appui sur le triangle vert (Run) depuis la fenêtre d’édition ou bien en tapant le « nom du programme » depuis la fenêtre de commande (Command Window). On rappelle, la syntaxe des structures de contrôle et de répétition: ‐ L’instruction de test if s’écrit comme suit : if condition1 action1 elseif condition2 action2 … else action3 end ‐ Les boucles :  La boucle for : forcompteur = valeur_initiale : incrément : valeur_finale action end  la boucle while : while condition action end Pour avoir une aide instantanée sur une commande Matlab, l’étudiant peut taper la commande « help » suivie du nom de la commande, dans la fenêtre de commande de Matlab (Command Window). 6 Manipulations : Partie A : Rappel sur le tracé de graphiques 2D à l’aide de la fonction ‘plot’ 1. Former une liste de valeurs (un vecteur) x allant de 0 à 2pi avec un pas de pi/20 ; 2. Calculer y = cos(x) et z = sin (x) ; 3. Tracer la courbe de y = cos(x) ; 4. Tracer la courbe de z = sin (x) ; 5. Tracer les deux courbes dans un même graphe. La fonction graphique plot( ) peut contenir plusieurs couples de points : plot (a,b,a,c,a,d) trace les courbes de b, c, et d en fonction de a ; 6. Exécuter les commandes suivantes : ‐ xlabel (‘Abcisses’) ; ‐ ylabel(‘Ordonnées’) ; ‐ title(‘Les fonctions Cos et Sin’) ; ‐ grid ‐ legend(‘cosinus’,’sinus’) ; Partie B : Résolution des équations non linéaires Soit à résoudre l’équation : ƒ(x) = x + 2 ln(x) = 0 où x C ]0 , + ∞[ a) Tracer le graphe y = ƒ(x) sur un intervalle tel qu’il vous permet de localiser la solution de l’équation. b) Localiser la solution dans le plus petit intervalle ]a , b[ possible. 1. Ecrire un script, que vous appellerez « bipart.m » qui implémente la méthode de bissection suivant les étapes : ‐ Initialiser les limites du domaine de recherche a et b ; ‐ Initialiser un compteur d’itération k à 0 ; ‐ Ecrire l’algorithme de bipartition en incrémentant le compteur k à chaque passage de boucle ; ‐ Arrêter la boucle quand la largeur du domaine devient ≤ 10–5 ; ‐ Afficher la solution calculée ainsi que le nombre d’itérations. 2. Ecrire un autre script, que vous appellerez « Newton.m » qui implémente la méthode de Newton-Raphson . L’arrêt des itérations se fera de la même manière que dans la manipulation (2). 3. Ecrire un autre script, que vous appellerez « AppSuc.m » qui implémente la méthode point fixe. Pour cela, on doit réécrire l’équation sous la forme x = g(x), en assurant la convergence de l’algorithme. L’arrêt des itérations se fera de la même manière que dans la manipulation (2). 4. Comparer les différentes méthodes implémentées. 7 Module : Méthodes Numériques But du TP : Le but de ce TP est l’implémentation des algorithmes d’interpolation étudiés au cours sous Matlab, il sera ensuite question d’étudier un phénomène qui se produit lorsque l’on augmente le nombre de points de collocation. Manipulations : A. La méthode de Lagrange Soit une fonction f(x) = e(x) définie sur l’intervalle [a ,b] avec : a = 3.50 b = 3.70 Ecrire un programme qui : ‐ Détermine le pas d’interpolation pour un nombre ‘n’ donné de sous intervalles (n = ‐ 4) ; ‐ Remplit un tableau avec les coordonnées des points d‘appui ; ‐ Interpole la fonction f(x) pour x = 3. 62 en utilisant la méthode de Lagrange. Pour rappel, l’algorithme de Lagrange est comme suit : n n ‐ Refaire l’exécution pour n = 10. TP 2 : Interpolation polynômiale 8 B. La méthode de Newton On considère la même fonction f(x) = e(x) définie sur l’intervalle [a, b]. On subdivise cet intervalle en ‘n’ sous intervalles, ce qui nous donne ‘n+1’ points d’appui. Pour n = 4, écrire un programme qui interpole cette fonction avec la méthode de Newton. Le programme exécutera les étapes suivantes : ‐ Construire la matrice des différences finies que nous appelons ‘D’ comme suit : D(i, j) = 0 pour i = 1 .. (n + 1) et j = 1.. (n + 1) D(i, 1) = f(xi) pour i = 1 .. (n + 1) ‐ Extraire ensuite la diagonale de D dans un vecteur M : M(i) = D(i, i) eour i = 1 .. (n + 1) ‐ Interpoler la fonction f(x) pour x = 3. 62 en utilisant la méthode de Newton : I = M(1) + M(2). (x — x1) + M(3). (x — x1). (x — x2) +… + M(n+ 1). (x — x1) … (x — xn) ‐ Refaire ces étapes pour n = 10. ‐ Calculer la valeur exacte de la fonction et comparer avec les interpolations précédentes, quel est votre commentaire. 9 Module : Méthodes Numériques But du TP : Le but de ce TP est le calcul d’une valeur approximative de l’intégrale définie d’une fonction f(x) sur un intervalle[x0, xn]. Pour se faire, il existe plusieurs méthodes d’approximation de l’intégrale , basées sur l’interpolation polynômiale de f(x) : Rappel des méthodes : La méthode du trapèze : qui n’est autre que l’intégrale du polynôme d’interpolation de f(x) sur 2 points d’appui, par extension à l’ensemble des points, on obtient la formule généralisée suivante : La méthode de Simpson : qui n’est autre que l’intégrale du polynôme d’interpolation de f(x) sur 3 points d’appui équidistants, par extension à l’ensemble des points, on obtient la formule généralisée: TP 3 : Intégration numérique de fonctions 10 0 Travail demandé : On se propose de calculer l’intégrale définie I = f 1 sin(x) . exdx, en utilisant les deux méthodes suscitées. 1) Ecrire uploads/Industriel/ tp-methode-numerique.pdf