Daniel Fredon Mathématiques Licence  Prépa AIDE-MÉMOIRE 2e édition © Dunod, 20

Daniel Fredon Mathématiques Licence  Prépa AIDE-MÉMOIRE 2e édition © Dunod, 2004, 2014 5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com ISBN 978-2-10-071043-0 Photographie de couverture : © orangeberry - fotolia.com Table des mati` eres Analyse dans ’ 1. Nombres r´ eels 7 2. G´ en´ eralit´ es sur les fonctions num´ eriques 11 3. Limites et continuit´ e 15 4. Fonctions d´ erivables 23 5. Fonctions usuelles 29 6. Suites num´ eriques 38 7. Int´ egrales d´ efinies 44 8. Calcul des primitives 50 9. Formules de Taylor 54 10. Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees 60 11. ´ Equations diff´ erentielles 65 12. S´ eries num´ eriques 76 Analyse dans ’n 13. Espaces vectoriels norm´ es 82 14. Calcul diff´ erentiel dans Rn 92 15. Optimisation d’une fonction num´ erique 99 16. Int´ egrales multiples 103 17. Int´ egrales curvilignes 110 18. Int´ egrales de surface 114 19. Suites et s´ eries de fonctions 117 20. S´ eries enti` eres 121 21. S´ eries de Fourier 127 22. Int´ egrales d´ ependant d’un param` etre 131 Alg` ebre g´ en´ erale 23. Rudiments de logique 134 24. Ensembles 138 25. Applications 141 26. Relations 144 27. Entiers naturels 147 28. Structures alg´ ebriques 152 29. Arithm´ etique dans Z 161 30. Nombres complexes 165 31. Polynˆ omes 171 32. Fractions rationnelles 177 Alg` ebre lin´ eaire et multilin´ eaire 33. Espaces vectoriels 180 34. Applications lin´ eaires 186 35. Matrices 190 36. Syst` emes lin´ eaires 198 37. D´ eterminants 203 38. R´ eduction des endomorphismes 208 39. Dualit´ e 214 40. Formes bilin´ eaires et quadratiques 217 41. Espaces pr´ ehilbertiens 221 42. Espaces vectoriels euclidiens 228 43. Espaces vectoriel hermitiens 234 G´ eom´ etrie 44. G´ eom´ etrie affine r´ eelle 237 45. Calcul vectoriel 243 46. G´ eom´ etrie euclidienne du plan et de l’espace 246 47. Courbes param´ etr´ ees 258 48. Propri´ et´ es des courbes 263 49. Surfaces 267 Calcul des probabilit´ es 50. Calcul des probabilit´ es 273 51. Variables al´ eatoires 280 52. Lois usuelles 287 53. Convergences et approximations 293 54. Estimation, tests statistiques 297 Table 1 : fonction de r´ epartition de N(0, 1) 308 Table 2 : ´ ecart r´ eduit de N(0, 1) 309 Table 3 : lois de Student 310 Index 310 Analyse dans ’ 1 Nombres r´ eels 1. Premi` eres propri´ et´ es 1.1 Corps ordonn´ e On dit que l’ensemble R des nombres r´ eels est : • un corps pour dire qu’il est muni de deux op´ erations + et ×, avec toutes les propri´ et´ es dont vous avez l’habitude (cf. chap. 30) ; • un corps ordonn´ e pour dire que la relation d’ordre ⩽est compatible avec + et ×, c’est-` a-dire : ∀a ∈R ∀b ∈R ∀c ∈R a ⩽b =⇒a + c ⩽b + c ∀a ∈R ∀b ∈R ∀c ⩾0 a ⩽b =⇒ac ⩽bc 1.2 R` egles de calcul (x + y)n = n X k=0 n k  xk yn−k (binˆ ome) o` u n k  = n! k!(n −k)! xn −yn = (x −y) n−1 X k=0 xn−k−1yk. 1.3 Valeur absolue La valeur absolue d’un nombre r´ eel a, not´ ee |a|, est d´ efinie par : |a| = a si a ⩾0 ; |a| = −a si a ⩽0. ¢ Propri´ et´ es ∀a ∈R ∀b ∈R |a| ⩾0 ; |a| = 0 ⇐⇒a = 0 ; |ab| = |a| |b| |a + b| ⩽|a| + |b| ; |a| −|b| ⩽|a −b| 1.4 Propri´ et´ e d’Archim` ede Soit a ∈R et b > 0 . Alors il existe k ∈N tel que bk > a . 8 Analyse dans ’ 1.5 Partie enti` ere ´ Etant donn´ e un nombre r´ eel x, il existe un plus grand entier relatif, not´ e ⌊x⌋, tel que ⌊x⌋⩽x. On l’appelle la partie enti` ere de x. On a donc, par d´ efinition : ⌊x⌋⩽x < ⌊x⌋+ 1. Attention ` a ne pas confondre avec la suppression de la partie d´ ecimale quand x < 0 ; par exemple ⌊−4, 3⌋= −5. 2. Intervalles 2.1 D´ efinitions Pour a ⩽b, le segment, [a; b] est d´ efini par : [a; b] = {x ∈R ; a ⩽x ⩽b} On utilise souvent la propri´ et´ e : c ∈[a, b] ⇐⇒∃t ∈[0, 1] c = ta + (1 −t)b. On d´ efinit de mˆ eme les autres types d’intervalles : ]a; b[, [a; b[, ]a, b], ]a, +∞[, [a, +∞[, ] −∞, b[, ] −∞, b], ] −∞, +∞[= R. 2.2 Propri´ et´ e caract´ eristique Une partie A de R est un intervalle si, et seulement si : ∀a ∈A ∀b ∈A a < c < b =⇒c ∈A. 2.3 Voisinage d’un point Soit a ∈R. Une partie V de R est un voisinage de a si elle contient un intervalle ouvert centr´ e sur a. 3. Ordre dans R 3.1 Majoration, minoration ¢ D´ efinitions Soit A une partie de R. On dit que a est un majorant de A si x ⩽a pour tout x de A. Si, en plus, a ∈A, alors a est le plus grand ´ el´ ement de A, not´ e max A. Si A admet un majorant, on dit que A est major´ ee. On d´ efinit de mˆ eme : minorant, plus petit ´ el´ ement, partie minor´ ee. Analyse dans ’ 1 • Nombres r´ eels 9 ¢ Unicit´ e Si une partie non vide de R admet un plus grand ´ el´ ement, ou un plus petit ´ el´ ement, il est unique. Mais il peut ne pas exister. Surveillez votre vocabulaire : un majorant, le plus grand ´ el´ ement. ¢ Cas particulier des entiers naturels Toute partie non vide de N admet un plus petit ´ el´ ement. Toute partie non vide major´ ee de N admet un plus grand ´ el´ ement. 3.2 Borne sup´ erieure, inf´ erieure ¢ D´ efinitions La borne sup´ erieure de A est le plus petit ´ el´ ement (s’il existe) de l’ensemble des majorants de A. La borne inf´ erieure de A est le plus grand ´ el´ ement (s’il existe) de l’ensemble des minorants de A. ¢ Caract´ erisation M est la borne sup´ erieure de A si, et seulement si, on a, ` a la fois : ∀x ∈A x ⩽M, c’est-` a-dire que M est un majorant ; ∀ε > 0 ∃x ∈A M −ε < x, c’est-` a-dire que M −ε n’est pas un majorant. m est la borne inf´ erieure de A si, et seulement si, on a, ` a la fois : ∀x ∈A m ⩽x, c’est-` a-dire que m est un minorant ; ∀ε > 0 ∃x ∈A x < m + ε, c’est-` a-dire que m + ε n’est pas un minorant. ¢ Remarque Si A admet un plus grand ´ el´ ement, alors c’est la borne sup´ erieure de A. Si A admet un plus petit ´ el´ ement, alors c’est la borne inf´ erieure de A. ¢ Th´ eor` eme d’existence Toute partie non vide et major´ ee (resp. minor´ ee) de R admet une borne sup´ erieure (resp. inf´ erieure). 10 Analyse dans ’ 3.3 Droite num´ erique achev´ ee Pour ne pas avoir de restriction dans le th´ eor` eme pr´ ec´ edent, on consid` ere un nouvel ensemble not´ e R obtenu ` a partir de R par l’adjonction de deux ´ el´ ements not´ es −∞et +∞. On prolonge ` a R la relation d’ordre en posant pour tout a ∈R : −∞< a < +∞. On d´ efinit ainsi la droite num´ erique achev´ ee dont le plus grand ´ el´ ement est +∞, le plus petit ´ el´ ement −∞. Et le th´ eor` eme pr´ ec´ edent se g´ en´ eralise : Toute partie non vide de R admet une borne sup´ erieure et une borne inf´ erieure dans R. 4. Points ` a caract` ere topologique Soit a ∈R et E une partie non vide de R. 4.1 Point adh´ erent Le point a est adh´ erent ` a E si tout voisinage de a contient un point de E. L’ensemble des points adh´ erents ` a E se note E. C’est l’adh´ erence de E. On a toujours E ⊂E. Si E = E, on dit que E est une partie ferm´ ee. Si E = R, on dit que E est dense dans R. 4.2 Point d’accumulation Le point a est un point d’accumulation de E si tout voisinage de a contient un point de E diff´ erent de a. Un point d’accumulation est n´ ecessairement adh´ erent ` a E. Si a est un point adh´ erent sans ˆ etre point d’accumulation, c’est un point isol´ e. ¢ Th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass Toute partie infinie et born´ ee de R admet au moins un point d’accumulation. 4.3 Point int´ erieur Le point a est un uploads/Ingenierie_Lourd/ analyse-dans-r.pdf

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Ingénierie fonction limite admet point alors
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