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BERENGER B. [85~ (C (C (GJ~ [85(Q) ~ ~®~~O©[{i) @~ EXERCICE 1(5 points) Dans une urne il a n-l boules blanches, n boules vertes, n+l boules rouges. n étant un entier naturel supérieur ou égal à 3. I- . On tire trois boules simultanément de l/ume et on désigne par X la variable aléatoire quit à chaque tirage, associe le nombre de boules vertes obtenues. Calculer l'espérance mathématique de X/ notée E(X), et vérifier qu'elle est indépendante de n. II-. On suppose désormais que n = 4. Un premier tirage simultanée de 3 boules ayant été effectué, on ne remet pas les boules tirées dans l'ume et on tire une deuxième fois trois boules simultanément. On désigne par Au, A./ Au A, et B les événements suivants: Ac,: le premier tirage ne contient pas de boule verte. A.: le premier tirage contient exactement une boule verte. A. :le premier tirage contient exactement deux boules vertes. A: le premier tirage contient exactement trois boules vertes. B : le deuxième tirage contient exactement deux boules vertes. 1°) Calculer les probabilités des événements Au, A./ Au A,. 2°) Calculer p( BIAo) / p(B1Al) / p(B1A2) / p(B1 A3)· Remarque: p (BI A;) désigne la probabilité de B sachant que A est réalisé, avec i élément de {O /1/2/3 }. 3°) En déduire les probabilités des événements B n Ac, / B n A. / B nA., B nA,. 4°) Calculer la probabilité de l 'événement B. EXERCICE II ( 5 points) Soit un carré ABCD de centre 0 tel que AB = a et --+ --+ li: ( AB / AD ) ~ '2' On note I, J, K et L les milieux respectifs de [AB], [BC] / [CD] et [DA]. 1°) a) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude s/ de centre 0/ qui transforme Aen I. b) Montrer que le quadrilatère UKL est l'image par s du carré ABCD. Quelle est la nature du quadrilatère UKL? Calculer son aire. 2°) Soit A'/ B', C et D' les isobarycentres des triangles AOB, BOC, COD et DOA. Démontrer que la quadrilatère A'B/CD' est l'image du quadrilatère UKL par une transformation simple que l'on précisera. En déduire la nature et l'aire du quadrilatère A'B/C/D/. 3°) On considère une pyramide régulière de sommet S et de base le carré ABCD. Les perpendiculaires au plan de base menées par A' / B', C et D' ( définis au 2° ) coupent les faces SAB, SBC, SCD et SDA respectivement en G 11 Gy G 3 et G 4' a) Démontrer que Gl/ Gy G 3 et G 4 sont les isobarycentres de ces faces. b) Démontrer que le quadrilatère G lG 2G 3G 4 est un carré. ( On pourra démontrer qu'il est l'image du quadrilatère IJKL par une transformation simple de l'espace) PROBLEME ( 10 points) Pour tout entier n, on considère la fonction fndéfinie sur -x e ] 0; + 00 [par: fn(x) = -1 . x n+ On appelle (Cn) la courbe représentative de fn dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( 0/ U / v). ( unité graphique: 4 cm ). Partie A: ( 3,5 points ) 1°) On suppose n = O. a) Etudier les limites de foen 0 et en + 00. En déduire les asymptotes à la courbe (Co), L.E. PDG TC -11 -99/00 b) Etudier les sens de variations de fo PlÙS dresser son tableau de variaiton. c)Tracer la courbe (Co), 2°) On suppose n ~ 1. a) Etudier les positions relatives de (Cn)et (Cn+ l). En déduire les coordonnées du point d'intersection l de (Cn)et (Cn+l) / / b) On considère la droite (D) d'équation x = 1 et M lm point de (Cn) de coordonnées ( x ; fn(x)). La droite (OM) coupe (D) en N. Calculer l'ordonnée du point N en fonction de x et de fn(x). c) Vérifier que le point M' de même abscisse que M et de même ordonnée que N est un point de (Cn+ l). . . d) Tracer la courbe (Cl) à partir de la courbe (C,) en utihsant la construction précédente. Partie B: (3 points) Dans cette partie, n désigne un entier naturel. 1°) On considère la fonction Fndéfinie sur [10; + 00 [par : X Fn(x) = r fn(t)dt. )10 Justifier l'existence de Fn(x). 2°) On pose Gn(x) = elO Fn(x), et on admet que la fonction G a une limite Jnquand x tend vers + 00 • n Démontrer que / pour tout n, et pour tout x E [ 10; + 00 [ : 1 0::;; Gn(x)::;; lOn+ l . En déduire un encadrement de Jn' 3°) Al'aide d'une intégration par parties, établir que, pour tout n, et pour tout x de [10 ; + 00 [/ 1 e- x+ lO ... Gn(x)=lOn+l- xn+ l -(n+1)Gn + l(x) EndéduirequeJ 1= _1_(_1_ -J ) . n+ n+110n+l n Partie C : ( 3,5 points) L'objet de cette partie est de déterminer une valeur approchée deJo' On considère la suite (~) de premier terme U o= 0 et de terme général ~' pour n ~ 1/ _ 1 1! 2! 31 n_ICn -1)! ~ - 10 -10 2 + 10<3 - ïQ'4 + .....+ (-1) ~ 1°) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, : Jo - ~ = (-l t n! Jn On rappelle que 01 = 1 et ( n + 1 )! = ( n + 1 )n!. 2°) a) Montrer que pour tout entier naturel n: n! IJ° - unl:s lOn+l b)Montrer que pour tout couple d/entiers naturels (p/ q): u2p ::;; Jo ::;; U 2q+-l' 3°) On considère la suite (rn) définie pour tout entier naturel n n! par: rn= 10Ml a) Etudier suivant les valeurs de n le signe de rn+ l - rn' Montrer que pour tout entier naturel n: rg ,;;; rn. b)En utilisant 2a) de la partie C/ donner un encadrement' .:c de Jo d'amplitude 2rg. c) En remarquant que u lO = Ug - rg et en utilisant 2b) de la partie C, donner un encadrement de Jo d'amplitude rg, puis une h ' d J ,rg , valeur approc ee e 0 a '2 pres. On donne Ug = 0/09158192 et rg = 0/000036288. uploads/Ingenierie_Lourd/ bac-gabon-maths-1994-series-ce.pdf