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pp. 217-238 217 Ouelques situations fondamentales dans les syst6mes dynamiques

pp. 217-238 217 Ouelques situations fondamentales dans les syst6mes dynamiques non lin6aires et chaotiques. Exemples Christian MIRA * Analyse Cet article ddcrit un certain nombre de situations caractdristiques de l'espace de phase, et de l'espace paramdtrique, associds gt un systdme dynamique dont les comportements sont lids d des phdnomdnes com- plexes pouvant 6tre chaotiques. Cette description ne donne que les grandes lignes des situations considdrdes, les ddtails thdoriques pouvant 6tre trouvds dans la bibliographie. L'outil mathdmatique de base utilisd ici est celui des rdcurrences (ou transformations ponctuelles). Des exemples lids d l'automatique et gt l'dlectronique illustrent d.iffdrents points thdoriques. Mots cl6s : Syst6me dynamique, Syst6me non lin6aire, Chaos, R6currence, Th6orie bifurcation, Syst6me fractal, Transforma- tion math6matique, Electronique, Automatiques. SOME FUNDAMENTAL SITUATIONS CONCERNING NON-LINEAR AND CHAOTIC DYNAMICAL SYSTEMS Abstract This paper considers some characteristical situations in the phase space and in the parameters space asso- ciated with a dynamical system, the behaviour of which is related to complex non-linear phenomena. The broad outline of these situations are presented (details being given in references) via the basic mathe- matical tool of maps. Examples related to problems of control systems, and electronic ones, illustrate a part of theoretical points. Key words : Dynamic system, Non linear system, Chaos, Recursion, Bifurcation theory, Fractal system, Mathematical transformation, Electronics, Automatics. Sommaire I. Introduction. II. Gdndralitds sur les rdcurrences. III. Diffdomorphisme du cercle et structures de bifurcations de type < < boites en files >>. IV. Bifurcations locales. V. La structure de bifurcations de type < < boftes emboftdes >>. Cas de l' endomorphisme unidimen- sionnel. VI. Application : redresseurs polyphases gl thyristors. VII. La structure de bifurcation de type < < boFtes emboitdes >>. Cas du diffdomorphisme bidimen- sionnel. VIII. Exemples coneernant plusieurs situations thdoriques de cet article. IX. Conclusion. Bibliographie (54 rdf ). I. INTRODUCTION Cet article d6crit un certain nombre de situations caract6ristiques de l'espace de phase (ou d'6tat), et de l'espace param6trique, associ6es & un syst6me dynamique dont les comportements sont li6s /~ des ph6nom6nes non lin6aires complexes, pouvant ~tre chaotiques. Autant que faire se peut cette description est donn6e sous une forme simple, laissant de c6t6 des d6veloppements th6oriques d6taill6s qui sont fournis dans la bibliographie, et est accompagn6e d'exemples li6s & des probl6mes d'automatique et d'61ectronique. * Dept. de g6nie 61ectrique, 1NSA, av. de Rangueil, 31077 Toulouse cedex. 1/22 ANN. TI~L~COMMUN., 42, n ~ 5-6, 1987 218 C. MIRA. - LES SYSTEMES DYNAMIQUES NON LINI~AIRES ET CHAOTIQUES Les r6currences (ou transformations ponctuelles) sont l'outil de base pour l'6tude des syst~mes dyna- miques. Une telle 6quation peut ~tre en effet le mod61e direct d'un processus 6volutif, dont l'6tat n'est disponible que de faqon discrete dans le temps. Elle peut aussi constituer une 6quation associ6e 5- un processus purement continu de dimension supS- rieure ddcrit par une 6quation diff6rentielle ordinaire (mdthode des surfaces de section de Poincar6). Aussi les situations caract6ristiques mentionn6es sont d6crites pour ce type de mod61e discret. Les comportements complexes des solutions ont lieu en g6n6ral pour des processus sous l'influence dominante de fortes non-lin6arit6s. Dans les sciences de l'ing6nieur, lorsque la complexit6 entraine ce qu'on nomme maintenant une dynamique ehaotique, ces comportements sont ind6sirables. Une connais- sance des m~canismes thForiques 5- l'origine du chaos est indispensable, car elle conduit h d6finir les fron- ti~res (lieux de bifurcation) des r6gions de l'espace des param~tres, chaque r6gion correspondant 5- un comportement qualitatif bien d6termin6. La d6ter- mination de cet espace permet alors de choisir les param~tres du processus qui 6vitent les situations ind6sirables, en tenant compte des perturbations diverses auxquelles il est soumis. Pour cette raison le texte traite essentiellement des bifurcations se produisant dans les r6currences de dimension un et deux, et des situations de l'espace de phase qui en r6sultent. I1 n'existe pas encore de d6finition g6n6ralement accept6e et non ambigu~ de ce qu'il faut entendre par dynamique chaotique. La classification des mou- vements dynamiques propos6e par Birkhoff [1] en 1927, et affin6e par Andronov en 1933 avec le dia- gramme ci-dessous, permet cependant de se faire une id6e du contenu de cette expression. mouvements dynamiques V" central non central 3, ~r stable au sens de Poisson instable au sens de Poisson r6current non r6current presque p6riodique non presque p6riodique ~r quasi p6riodique non quasi p6riodique "r y p6riodique non pdriodique ~r ~r ~r constant non constant Dans ce diagramme en allant de bas en haut, un accroissement de complexitd structurelle des mouvements se traduit par une transition graduelle de mouvements ordonn6s h des mouvements de plus en plus chaotiques. Ainsi les mouvements quasi p6riodiques correspondent 5- des 6tats stationnaires donn6s par x(t) = ~ am COS(Omt -]- %,), (max m) < o% m toutes les pulsations to m &ant mutuellement incom- mensurables. Pour ce type de mouvement il est facile de voir que, m~me pour m = 1, 2, toute pr6- diction 5- partir de x(t) devient impossible en pratique d6s que t devient suffisamment grand, si l'on consid6re que les donn6es disponibles (dont d6pendent les am et %,) sont d'origine exp6rimentale, c'est-5--dire connues avec une pr6cision finie. Le mieux que l'on puisse esp6rer est une pr6diction qualitative. Dans le cas des mouvements presque p6riodiques, l'indice m dans x(t) est tel que m -+ ~. Les d6finitions de rdcurrent, stable au sens de Poisson, central peuvent &re trouv6es dans les ouvrages classiques traitant de la th6orie des syst6mes dynamiques. Plus grossi6- rement, en consid6rant le diagramme 5. partir des mou- vements presque pFriodiques et allant vers le haut de celui-ci, il est possible de dire que l'on a d'abord des mouvements avec une apparence r6p6titive, mais sans reproduction 6vidente dans le temps. Ensuite une oscillation born6e, mais sans apparence r6p6- titive, et enfin des mouvements pseudo-al6atoires. Actuellement il n'y a pas de d6finition g6n6ralement accept6e de l'dtat stationnaire chaotique. En fonction du contexte, on dit qu'un 6tat stationnaire est chao- tique quand il est non pEriodique. On parle m~me de mouvement chaotique, pour un mouvement p6riodique tr6s irr6gulier sur une p6riode, et pour lequel la dur6e des observations physiquement pos- sibles est inf~rieure 5- cette p6riode. Un tel mouvement est pratiquement ehaotique. En outre, il apparalt en g6n6ral que plus la dimension du syst6me dyna- mique est grande, plus la complexit6 structurelle de son mouvement s'accroit. II faut souligner que les mouvements consid6r6s ici sont engendr6s par des m6canismes purement d&erministes. Les diff6rents degrds de chaos appa- raissant ici sont une indication de la complexit6 de diff6rents types de mouvements dynamiques d6terministes donnant naissance h une difficult6 pratique croissante de pr6diction, quand on va des mouvements quasi p6riodiques 5- ceux qualifi6s de centraux et non centraux. Une premiere partie donne les 616ments de base concernant la formulation r6currente, ses singula- rit6s, son association 5- une 6quation diff6rentielle ordinaire de dimension effective sup6rieure, le domaine d'influence (bassin) d'une singularit6 attractive. Ce dernier point donne l'occasion d'introduire une premiere bifurcation h caract6re global, c'est-5--dire donnant lieu 5- un changement de comportement qualitatif dans un r6gion importante de l'espace de phase. Cette bifurcation s6pare l'existence d'un bassin d'un seul tenant de celle d'un bassin form6 de r6gions totalement disjointes. Un exemple de syst~me asservi 5- donn6es 6chantillonn6es (SADE) illustre ceci. Une deuxi6me partie d6crit la structure de bifurcations boltes en files dans la situation la ANN. TI~LI~COMMUN., 42, n ~ 5-6, 1987 2/22 uploads/Ingenierie_Lourd/ bf02995241.pdf