Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Dérivées partiel

Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Dérivées partielles : Révisions ZZZ Z    Z Z Z Z     Exo7 Exercice 1 Soit f : R2 →R la fonction définie par f(x,y) = (x2 +y2)x pour (x,y) ̸= (0,0) et f(0,0) = 1. 1. La fonction f est-elle continue en (0,0) ? 2. Déterminer les dérivées partielles de f en un point quelconque distinct de l’origine. 3. La fonction f admet-elle des dérivées partielles par rapport à x, à y en (0,0) ? Indication ▼ Correction ▼ [002624] Exercice 2 Soit f : R2 →R la fonction définie par f(x,y) = x2y+3y3 x2 +y2 pour (x,y) ̸= (0,0), f(0,0) = 0. 1. La fonction f est-elle continue en (0,0) ? Justifier la réponse. 2. La fonction f admet-elle des dérivées partielles par rapport à x, à y en (0,0) ? Donner la ou les valeurs le cas échéant et justifier la réponse. 3. La fonction f est-elle différentiable en (0,0) ? Justifier la réponse. 4. Déterminer les dérivées partielles de f en un point (x0,y0) ̸= (0,0). 5. Déterminer l’équation du plan tangent au graphe de f au point (1,1,2). 6. Soit F : R2 →R2 la fonction définie par F(x,y) = (f(x,y), f(y,x)). Déterminer la matrice jacobienne de F au point (1,1). La fonction F admet-elle une réciproque locale au voisinage du point (2,2) ? Indication ▼ Correction ▼ [002625] Exercice 3 Soit f : R3 →R une fonction de classe C1 et soit g: R3 →R la fonction définie par g(x,y,z) = f(x−y,y−z,z−x). Montrer que ∂g ∂x + ∂g ∂y + ∂g ∂z = 0. (1) Indication ▼ Correction ▼ [002626] Exercice 4 On considère les fonctions f : R2 − →R3 et g: R3 − →R définies par f(x,y) = (sin(xy),ycosx,xysin(xy)exp(y2)), g(u,v,w) = uvw. 1. Calculer explicitement g◦f. 2. En utilisant l’expression trouvée en (1), calculer les dérivées partielles de g◦f. 3. Déterminer les matrices jacobiennes Jf (x,y) et Jg(u,v,w) de f et de g. 4. Retrouver le résultat sous (2.) en utilisant un produit approprié de matrices jacobiennes. Indication ▼ Correction ▼ [002627] Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 1 Indication pour l’exercice 1 ▲ 1. Utiliser les coordonnées polaires (r,ϕ) dans le plan et le fait que limr→0 r>0 rlogr = 0. Indication pour l’exercice 2 ▲ 1. Pour réfuter la différentiabilité de f en (0,0), il suffit de trouver une dérivée directionnelle qui n’est pas combinaison linéaire des dérivées partielles (par rapport aux deux variables). 2. Le plan tangent au point (x0,y0, f(x0,y0)) du graphe z = f(x,y) de F est donnée par l’équation z−f(x0,y0) = ∂f ∂x (x0,y0)(x−x0)+ ∂f ∂y (x0,y0)(y−y0). (2) Indication pour l’exercice 3 ▲ Calculer mène à la vérité. Indication pour l’exercice 4 ▲ Écrire f(x,y) = (sin(xy),ycosx,xysin(xy)exp(y2)) = (u,v,w). 2 Correction de l’exercice 1 ▲ 1. f(x,y) = (x2 +y2)x = exlog(x2+y2) = e2rcosϕ logr. Puisque cosϕ est borné, limr→0 r>0 2rcosϕ logr = 0 d’où lim(x,y)→(0,0) (x,y)̸=(0,0) f(x,y) = e limr→0 r>0 2rcosϕ logr = e0 = 1, car la fonction exponentielle est continue. 2. Dans R2 \{(0,0)} les dérivées partielles par rapport aux variables x et y se calculent ainsi : ∂f ∂x =  log(x2 +y2)+ 2x2 x2 +y2  (x2 +y2)x ∂f ∂x =  2y x2 +y2  (x2 +y2)x 3. Pour que la dérivée partielle ∂f ∂x (0,0) existe, il faut et il suffit que limx→0 x̸=0 f(x,0)−1 x = limx→0 x̸=0 (x2)x −1 x = limx→0 x>0 e2xlogx −1 x existe. Si x > 0, e2xlogx −1 x = 2logx+ε(x) où limx→0 x>0 ε(x) = 0. Par conséquent, la dérivée partielle ∂f ∂x (0,0) n’existe pas. D’autre part, ∂f ∂y (0,0) = limy→0 y̸=0 f(0,y)−1 y = limy→0 y̸=0 (y2)0 −1 y = 0 existe. Correction de l’exercice 2 ▲ 1. Puisque f(x,y) = x2y+3y3 x2+y2 = r(cos2 ϕ sinϕ +3sin3 ϕ), il s’ensuit que lim(x,y)→(0,0) (x,y)̸=(0,0) f(x,y) = 0 car cos2 ϕ sinϕ +3sin3 ϕ reste borné. Par conséquent la fonction f est continue en (0,0). 2. Les dérivées partielles ∂f ∂x (0,0) = limx→0 x̸=0 f(x,0) x = limx→0 x̸=0 0 x2 = 0 ∂f ∂y (0,0) = limy→0 y̸=0 f(0,y) y = limy→0 y̸=0 3y3 y2 = 3 existent. 3. Puisque f(x,x) = 4x3 2x2 = 2x, la dérivée directionnelle Dv f(0,0) suivant le vecteur v = (1,1) est non nulle. Par conséquent, la fonction f n’est pas différentiable en (0,0). 4. ∂f ∂x = ∂ ∂x x2y+3y3 x2 +y2 = 2xy(x2 +y2)−2x(x2y+3y3) (x2 +y2)2 = −4 xy3 (x2 +y2)2 ∂f ∂y = ∂ ∂y x2y+3y3 x2 +y2 = (x2 +3y2)(x2 +y2)−2y(x2y+3y3) (x2 +y2)2 = x4 +8x2y2 +3y4 (x2 +y2)2 3 5. D’après (2), cette équation s’écrit z−2 = ∂f ∂x (1,1)(x−1)+ ∂f ∂y (1,1)(y−1) = 1−x+3(y−1) d’où z = 3y−x. 6. La fonction F : R2 →R2 s’écrit F(x,y) =  x2y+3y3 x2+y2 , y2x+3x3 x2+y2  et sa matrice jacobienne JF(1,1) = "∂f ∂x (1,1) ∂f ∂y (1,1) ∂f ∂y (1,1) ∂f ∂x (1,1) # = −1 3 3 −1  au point (1,1) est inversible. Par conséquent, la fonction F admet une réciproque locale au voisinage du point (1,1). Au point (2,2), JF(2,2) = " ∂f ∂x (2,2) ∂f ∂y (2,2) ∂f ∂y (2,2) ∂f ∂x (2,2) # = −1 3 3 −1  d’où la fonction F admet également une réciproque locale au voisinage du point (2,2). Correction de l’exercice 3 ▲ ∂g ∂x = ∂f ∂x −∂f ∂z ∂g ∂y = ∂f ∂y −∂f ∂x ∂g ∂z = ∂f ∂z −∂f ∂y d’où (1). Correction de l’exercice 4 ▲ 1. g(f(x,y)) = xy2 sin2(xy)cosxexp(y2) 2. ∂(g◦f) ∂x = y2 sin(xy)exp(y2)(2xycosxcos(xy)−xsinxsin(xy)+cosxsin(xy)) ∂(g◦f) ∂y = 2xycosxsin(xy)exp(y2)(xycos(xy)+(1+y2)sin(xy)) 3. Calculons d’abord ∂w ∂x = ysin(xy)exp(y2)+xy2 cos(xy)exp(y2) = yexp(y2)(sin(xy)+xycos(xy)) ∂w ∂y = xsin(xy)exp(y2)+x2ycos(xy)exp(y2)+2xy2 sin(xy)exp(y2) = xexp(y2)(sin(xy)+xycos(xy)+2y2 sin(xy)) = xexp(y2)((1+2y2)sin(xy)+xycos(xy)). Ainsi la matrice jacobienne Jf de f s’écrit Jf =    ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y ∂w ∂x ∂w ∂y    =   ycos(xy) xcos(xy) −ysinx cosx yexp(y2)(sin(xy)+xycos(xy)) xexp(y2)((1+2y2)sin(xy)+xycos(xy))  . 4 De même, la matrice jacobienne Jg de g est : Jg = ∂g ∂u, ∂g ∂v, ∂g ∂w  = [vw,uw,uv] =  xy2 sin(xy)cosxexp(y2),xysin2(xy)exp(y2),ysin(xy)cosx  4. La matrice jacobienne Jg◦f de la fonction composée g◦f s’écrit comme produit matricielle Jg◦f = Jg ◦Jf = ∂g ∂u, ∂g ∂v, ∂g ∂w     ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y ∂w ∂x ∂w ∂y    d’où ∂(g◦f) ∂x = (xy2 sin(xy)cosxexp(y2))ycos(xy) −(xysin2(xy)exp(y2))ysinx +(ysin(xy)cosx)yexp(y2)(sin(xy)+xycos(xy)) = xy3 cosxsin(xy)cos(xy)exp(y2))−xy2 sinxsin2(xy)exp(y2) +y2 cosxsin2(xy)exp(y2)+xy3 cosxsin(xy)cos(xy)exp(y2) = y2 sin(xy)exp(y2)(2xycosxcos(xy)−xsinxsin(xy)+cosxsin(xy)) ∂(g◦f) ∂y = (xy2 sin(xy)cosxexp(y2))xcos(xy) +(xysin2(xy)exp(y2))cosx +(ysin(xy)cosx)xexp(y2)((1+2y2)sin(xy)+xycos(xy)) = x2y2 cosxsin(xy)cos(xy)exp(y2)+xycosxsin2(xy)exp(y2) +xy(1+2y2)cosxsin2(xy)exp(y2)+x2y2 cosxsin(xy)cos(xy)exp(y2) = 2x2y2 cosxsin(xy)cos(xy)exp(y2)+2xy(1+y2)cosxsin2(xy)exp(y2) = 2xycosxsin(xy)exp(y2)(xycos(xy)+(1+y2)sin(xy)). 5 uploads/Ingenierie_Lourd/ derivees-partielles 1 .pdf

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Ingénierie fonction f(x y) point dérivées partielles
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