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Mr HAMADA ‐ Prof Principal http://tunimath.clanfree.net yosri_prof@yahoo.fr / T

Mr HAMADA ‐ Prof Principal http://tunimath.clanfree.net yosri_prof@yahoo.fr / Tel :23 356 901 1 Chapitre 12 Généralités sur les fonctions I – Définition Une fonction définie sur un intervalle associe à chaque nombre de cet intervalle un nombre réel et un seul. Notation: f: I——>R x——>f(x) soit ݔ଴א ܫ, ݈݁ ݎé݈݁ ݕ଴݂ሺݔ଴ሻ ݁ݏݐ ݈ᇱ݅݉ܽ݃݁ ݀݁ ݔ଴ ݌ܽݎ ݂, ݋݊ ݀݅ݐ ݍݑ݁ ݔ଴ ݁ݏݐ ݑ݊ܽ݊ݐéܿé݀ܽ݊ݐ ݀݁ݕ଴݌ܽݎ݂ Exemples : 1) ݂ : Թ ืԹ 2) ݃׷ Թ ืԹ 3) ݄׷ ሾ0, ൅∞ሾืԹ ݔ฽ݔଶ൅2ݔ ݔ฽ ௫ ௫మିଵ ݔ฽√1 െݔଶ Déterminer les ensembles des définitions des fonctions f, g et h 1) ݂ ݁ݏݐ ݀݅ݐ݁ ݂݋݊ܿݐ݅݋݊ ݌݋݈ݕ݊ô݉݁ ݁ݏݐ ݀é݂݅݊݅݁ ݌݋ݑݎ ݐ݋ݑݐ Թ 2) ݃ ݁ݏݐ ݀݅ݐ݁ ݂݋݊ܿݐ݅݋݊ ݎܽݐ݅݋݈݈݊݊݁݁ ݀݋݊ ܿ݋݉݌݋ݏé݁ ݀݁ ݀݁ݑݔ ݂݋݊ܿݐ݅݋݊ݏ ݔ฽ݔ ݀é݂݅݊݅݁ ݌݋ݑݎ ݐ݋ݑݐ Թ ݁ݐ ݔ ฽ 1 ݔଶെ1 ݍݑ݅ ݊ᇱ݁ݏݐ݀é݂݅݊݅݁ ݌݋ݑݎ ݐ݋ݑݐ ݔ א Թ ך ሼെ1,1ሽ ܿܽݎ ݔଶെ1 ൌሺݔെ1ሻሺݔ൅1ሻ 3) On a 1 െݔଶൌሺ1 െݔሻሺ1 ൅ݔሻ qui s’annule pour les valeurs ݔൌ1 ݁ݐ ݔൌെ1 ב ሾ0, ൅∞ሾ On obtient le tableau de signe suivant : ݔ 0 1 +∞ ݏ݅݃ሺ1 െݔሻ ൅ െ ݏ݅݃ሺ1 ൅ݔሻ ൅ ൅ ݏ݅݃ሺ1 െݔଶሻ ൅ െ On conclu donc que ݄ ݁ݏݐ ݀é݂݅݊݅݁ ݌݋ݑݎ ݐ݋ݑݐ ݔ א ሾ0,1ሿ II – Représentation graphique d’une fonction Définition : Le plan est muni d’un repère ሺ݋, ଓ, ሬԦ ଔ Ԧሻ . Soit f une fonction définie sur un ensemble I. On appelle représentation graphique de f ou courbe représentative de f l’ensemble des points M de coordonnéesሺݔ, ݂ሺݔሻሻ, où x appartient à I Vocabulaire : Si une fonction f, définie sur un ensemble I, a pour représentation graphique la courbe C, on dit que C a pour équation ݕൌ݂ሺݔሻ, avec ݔא ܫ Exemples : 1) La courbe représentative C d’une fonction f définie sur Թ a pour équation : y = x² – 2x + 3. M est le point de C d’abscisse 1. Quelle est son ordonnée ? ܯሺ1, ݂ሺ1ሻሻ donc ݂ሺ1ሻൌ1ଶെ2 ൈ1 ൅3 ൌ1 െ2 ൅3 ൌ4 െ2 ൌ2 ݀݋݊ܿ ݂ሺ1ሻൌ2 2) Soit f la fonction définie par f : x ฽ ଵ଺ ௫² ା ସ Pour tracer sa représentation graphique, on calcule les images de quelques valeurs puis on place les points correspondants dans le repère. On relie ensuite ces points par une courbe. Mr HAMADA ‐ Prof Principal http://tunimath.clanfree.net yosri_prof@yahoo.fr / Tel :23 356 901 2 x –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 0,4 0,55 0,8 1,23 2 3,2 4 3,2 2 1,23 0,8 0,55 0,4 III – Maximum et minimum Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I. • La fonction f admet un minimum an a sur l’intervalle I, lorsque : Pour tout réel x de I, ݂ሺݔሻ൒݂ሺܽሻ . Le réel f(a) est le minimum de f sur I. • La fonction f admet un maximum an a sur l’intervalle I, lorsque : Pour tout réel x de I, ݂ሺݔሻ൑݂ሺܽሻ . Le réel f(a) est le maximum de f sur I. Exemple : Le minimum sur l’intervalle [-5 ; 6] de la fonction f représentée ci-dessous est -2. Il est obtenu lorsque x = ଷ ଶ . En effet, A est le point le plus « bas » de la courbe. Le maximum sur l’intervalle [-5 ; 6] est 4. Il est obtenu lorsque x = -3. En effet, B est le point le plus « haut » de la courbe. Mr HAMADA ‐ Prof Principal http://tunimath.clanfree.net yosri_prof@yahoo.fr / Tel :23 356 901 3 IV – Sens de variations d’une fonction Définition : Soit f une fonction définie sur un ensemble E et I un intervalle inclus dans E. • La fonction f est consentante sur l’intervalle I si, pour tous réels a et b de I tels que ܽ൑ܾ, ݂ሺܽሻ൑݂ሺܾሻ. • La fonction f est décroissante sur l’intervalle I si, pour tous réels a et b de I tels que ܽ൑ܾ, ݂ሺܽሻ൒݂ሺܾሻ. • La fonction f est consentante sur l’intervalle I si, pour tous réels a et b de I, ݂ሺܽሻ൑݂ሺܾሻ. Vocabulaire : Une fonction est dite monotone sur un intervalle I, Si elle est croissante sur I ou décroissante sur I. Exemples : • La fonction f définie sur [-2,6] par sa courbe • Le sens de variation de f est tel que : - Décroissante sur [-2,0] - Croissante sur [0,2] - Constante sur [2,4] - Croissante sur [4,6] • Le tableau de variation de f V – Parité et symétrie Définition : Soit f une fonction définie sur I. • On dit que f est paire si, pour tout réel x de I, on a െݔ א ܫ ݁ݐ ݂ሺെݔሻൌ݂ሺݔሻ Alors, la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. • On dit que f est impaire si, pour tout réel x de I, on a െݔ א ܫ ݁ݐ ݂ሺെݔሻൌെ ݂ሺݔሻ Alors, la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’origine du repère. Exemples : Soient les trois fonctions f , g et h ݂ : Թ ืԹ ݃׷ Թ ืԹ ݄׷ Թ ืԹ ݔ฽ݔଶെ4 ݔ฽ݔଷ ݔ฽ݔଷെ3 • On a pour tout ݔא Թ, ݂ሺെݔሻൌሺെݔሻଶെ4 ൌݔଶെ4 ൌ݂ሺݔሻ donc f est une fonction paire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. (voir fig 1) Mr HAMADA ‐ Prof Principal http://tunimath.clanfree.net yosri_prof@yahoo.fr / Tel :23 356 901 4 • On a pour tout ݔא Թ, ݃ሺെݔሻൌሺെݔሻଷൌെݔଷ ൌെ݃ሺݔሻ donc g est une fonction impaire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère. (voir fig 2) • On a pour tout ݔא Թ, ݄ሺെݔሻൌሺെݔሻଷെ3 ൌെݔଷെ3 donc h est une fonction quelconque. (voir fig 3) Fig 1 fig 2 fig 3 uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-math-chapitre-12-generalites-sur-les-fonctions-2eme-sciences-mr-hamada.pdf