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Régulation & Asservissement L2 SOMMAIRE Chapitre1 : Systèmes et signaux 1. Intr

Régulation & Asservissement L2 SOMMAIRE Chapitre1 : Systèmes et signaux 1. Introduction 1 2. systèmes commandés 2 2.1. Définition 2 2.2. Exemple : Radiateur de chauffage central 2 2.3. Propriétés des systèmes étudiés 3 3. Signaux typiques (fonctions de base) 4 3.1. Signal sinusoïdal 4 3.2. Echelon 4 3.3. Echelon retardé 5 3.4. Fonction rampe 5 3.5. Impulsion de Dirac 5 Chapitre2 : Transformation de Laplace 1. Introduction 6 1.1. Définition 6 1.2. Intérêt 6 2. Propriétés de la Transformée de Laplace 6 2.1. Condition d’existence 6 2.2. Linéarité 6 2.3. Théorème de translation 6 2.4. Transformée de la dérivée d’une fonction 7 2.5. Transformée de l’intégrale 7 2.6. Transformée des fonctions avec retard 7 2.7. Transformée des fonctions périodiques 7 2.8. Théorèmes 8 3. Résolution d’une équation différentielle par la T.L. 9 4. Transformées de Laplace usuelles 10 Chapitre3 : Modélisation des systèmes FARES Naoufel Régulation & Asservissement L2 1. Mise en équation 11 2. Modèle mathématique d’un système 11 3. Systèmes mécaniques 12 3.1. Elément ressort 12 3.2. Elément amortisseur 13 3.3. Elément d’inertie 14 3.4. Impédance mécanique 15 4. Systèmes électriques 15 4.1. Elément résistance 15 4.2. Elément inductance 16 4.3. Elément capacité 16 5. Circuits composés 17 5.1. Circuits électriques composés 17 5.2. Circuits mécaniques composés 18 6. Analogie électromécanique 19 6.1. Analogie directe 19 6.2. Analogie inverse 20 Chapitre 4 : Système du premier ordre 1. Définitions et exemples 22 1.1. Définition 22 1.2. Exemples 22 1.2.1. Système électrique 22 1.2.2. Système mécanique 23 2. Réponses aux entrées typiques 23 2.1. Réponse indicielle (Réponse à un échelon) 23 2.2. Réponse à une rampe 26 2.3. Réponse à une impulsion 27 2.4. Réponse harmonique : réponse aux entrées sinusoïdales 28 2.4.1. Définition 29 2.4.2. Représentation graphique de G et ϕ en fonction de ω 29 FARES Naoufel Régulation & Asservissement L2 A- Lieu de Bode 29 B- Lieu de BlacK 31 C- Lieu de Nyquist 31 3. Systèmes du premier ordre généralisé 32 4. systèmes particuliers 33 4.1. Dérivateur 33 4.1. Intégrateur 33 Annexe n° 1 : Méthode des fractions rationnelles 34 Annexe n° 2 : Diagrammes de Bode d'un système de 1er ordre 35 Chapitre 5 : Système du second ordre 1. Définitions et exemples 36 1.1. Définition 36 1.2. Exemples 36 1.2.1. Circuit électrique 36 1.2.2. Système mécanique 37 2. Réponses aux entrées typiques 37 2.1. Réponse indicielle 37 2.2. Réponse impulsionnelle 40 2.3. Réponse harmonique : réponse aux entrées sinusoïdales 41 2.3.1. Variation de G et ϕ en fonction de ω 42 2.32. Représentation graphique de G et ϕ en fonction de ω 43 A- Lieu de Bode 43 B- Lieu de Nyquist 44 C- Lieu de BlacK 45 3. Performance des systèmes du second ordre 45 3.1. Facteur d'amortissement en régime transitoire 45 3.2. Dépassement en régime transitoire 46 3.3. Amortissement et réponse fréquentielle 47 3.4. Fréquence remarquables 47 3.5. Temps de réponse 47 FARES Naoufel Régulation & Asservissement L2 Annexe n° 1 : Réponse indicielle et réponse impulsionnelle d'un système de 2ème ordre 48 Annexe n° 2 : Diagrammes de Bode d'un système de 2ème ordre 49 Chapitre 6 : Représentation des systèmes asservis 1. système asservi 50 1.1. Définition 50 1.2. Principaux éléments d'une chaîne d'asservissement 50 1.3. Régulation et asservissement 51 2. Fonction de transfert des systèmes composés 51 3. Schéma Fonctionnel 52 3.1. Formalisme 52 3.1.1. Le bloc 52 3.1.2. Les sommateurs 52 3.1.3 La jonction 52 3.2. Passage d’un système d’équations à un schéma fonctionnel 52 3.3. Passage d’un S.F à un système d’équations 53 3.4. Règles de simplification des S.F 54 3.4.1. Structure en boucle ouverte 54 3.4.2. Structure en boucle fermée 54 3.4.3. Déplacement des points de prélèvement (des capteurs) 55 3.4.4. Déplacement des sommateurs 55 3.4.5. Transformation d’un comparateur en sommateur 55 3.4.6. Permutation des sommateurs 55 3.4.7. Permutation des capteurs 55 3.5. Applications 56 3.5.1. Application n° 1 56 3.5.2. Application n° 2 : boucles concentriques 56 3.5.3. Application n° 3 : boucles imbriquées 57 3.5.4. Application n° 4 : système à deux entrées et une sortie 58 4. détermination pratique des lieux de transfert 58 4.1. Fonctions élémentaires 58 FARES Naoufel Régulation & Asservissement L2 4.2. Systèmes quelconques 60 Chapitre 7 : Performance des systèmes asservis 1. Stabilité 62 1.1. Notion de stabilité 62 1.2. Critère algébrique de stabilité 62 1.3. Règle de Routh 63 1.4. Critère graphique de stabilité 65 1.4.1. Dans le plan de Nyquist 65 1.4.2. Dans le plan de Bode 66 1.4.3. Dans le plan de Black 66 1.5. Degré de stabilité 67 1.5.1. Marge de gain 67 1.5.2. Marge de phase 68 1.5.3. Exemple 69 2. précision d'un système asservi linéaire 69 2.1. Définition 69 2.2. Calcul d'erreur 70 2.3. Influence de la structure du système asservi sur la précision 70 2.3.1. Réponse à un échelon : Erreur indicielle 71 2.3.2. Réponse à une rampe : Erreur de traînage 71 2.3.3. Réponse à une entrée parabolique : Erreur en accélération 71 2.3.4. Tableau récapitulatif 72 2.4. Calcul de ε pour différents systèmes 72 2.4.1. Système à retour non unitaire 72 2.4.2. Système à deux entrées 72 SERIES D'EXERCICES FARES Naoufel Régulation & Asservissement L2 Chapitre1 : Systèmes et signaux 1. Introduction L’automatique est une doctrine qui rassemble plusieurs techniques et théories qui nous permettent de contrôler et de maîtriser le fonctionnement des procédés réels. L’objectif de l’automatique est d’aboutir à des systèmes à commande automatique. Exemple : considérons l’exemple d’un moteur à courant continu (M.C.C) alimenté par une tension V et tournant à une vitesseΩ. Figure 1.1. Moteur à courant continu Pour la même tension V si on varie la charge, la vitesse varie également. Le problème qui se pose : comment conserver la même vitesse quelque soit la variation de la charge ? Solution : asservir le système (M.C.C + charge) c'est-à-dire lui appliquer une tension v qui tient compte de la variation de la vitesse selon une loi déterminée appelée loi de commande. Cette tension est générée par l’intermédiaire d’un régulateur ou contrôleur. On aboutit au système asservi suivant : Figure 1.2. Asservissement du moteur à courant continu Le régulateur est choisi de façon à avoir un bon réglage. Il fournit une tension v faible. L’utilisation d’un amplificateur de puissance est nécessaire pour avoir la tension d’alimentation V. Ω0 est la vitesse de référence. Considérons un procédé réel que l’on veut transformer en un système à contrôle automatique. Quelles sont alors les différentes taches nécessaires à faire ? FARES Naoufel M.C.C Charge Ω V V M.C.C Charge Amplificateur de puissance Régulateur Ω v Capteur Ω0 Régulation & Asservissement L2 Figure 1.3. Intervention de l’automatique 2. systèmes commandés 2.1. Définition Un système physique (mécanique, électrique, thermique, …) est un ensemble d’éléments physique interagissant entre eux. Tout système présente une ou plusieurs entrées, une ou plusieurs sorties. L’entrée peut être un signal d’excitation ou une perturbation. Figure 1.4. Configuration générale d’un système 2.2. Exemple : Radiateur de chauffage central Dans une installation de chauffage central d’une maison, chaque radiateur possède un robinet qui permet de modifier le débit d’eau chaude dans le radiateur en fonction de la température souhaitée dans la pièce. Le système physique, constitué du radiateur, du robinet et des canalisations d’entrée et de sortie d’eau se présente comme indiqué en figure 1.5. FARES Naoufel Modélisation Procédé réel Mise en œuvre Analyse et identification Conception et synthèse de régulation Système Signal d’entrée Signal de sortie Excitation Réponse Perturbation Régulation & Asservissement L2 Figure 1.5. Radiateur de chauffage central D’un point de vue fonctionnel, ce système possède une entrée, la commande x d’ouverture du robinet, une sortie, la température y de la pièce ainsi qu’une loi qui relie l’entrée à la sortie. Nous notons F la fonction qui relie la sortie y à l’entré x à chaque instant. Le système physique de la figure 1.5 se présente alors sous la forme du diagramme fonctionnel de la figure 1.6. L’intérêt d’une telle représentation est d’isoler le système étudié et de mettre en évidence son entrée et sa sortie. Figure 1.6. Diagramme fonctionnel 2.3. Propriétés des systèmes étudiés Le système modélisé par le diagramme de la figure 1.6 possède plusieurs propriétés : - C’est un système monovariable : il ne possède q’une seule entrée et une seule sortie. - C’est un système déterministe : pour une évolution donnée de l’entrée x(t), il n’existe qu’une évolution possible de la sortie y(t). - C’est un système continu : la fonction F est une fonction continue du temps t. Les systèmes étudiés par la suite possèderont ces propriétés ainsi que les propriétés de linéarité, de causalité et de stationnarité que nous détaillons ci-dessous. - Un système est linéaire est tel que la fonction F qui relie son entrée et sa sortie est linéaire. Ainsi, pour toute entrée x1(t) et x2(t), )) t ( x ( F . )) t ( x ( F . )) t ( x . ) t ( x . F( , , 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 λ + λ = uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-asservissement-l2.pdf