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 Salim Labiod 2020 – Université de Jijel 1 Méthode du Plan de Phase 2.1 Introd

 Salim Labiod 2020 – Université de Jijel 1 Méthode du Plan de Phase 2.1 Introduction La méthode du plan de phase est une méthode graphique qui permet d’étudier de façon qualitative le comportement des systèmes dynamiques de deuxième ordre décrits par les équations suivantes : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 , , x f x x f x x f x x f x = =    = =     où 1 x et 2 x sont les états du système, ( ) 1 f x et ( ) 2 f x sont des fonctions non linéaires quelconques. La méthode du plan de phase a pour but d’analyser le comportement de ce système sans résoudre l’équation différentielle le régissant. 2.1.1 Plan de phase Le plan de phase c’est le plan qui a 1 x et 2 x comme coordonnées ( 1 x selon l’axe horizontal, 2 x selon l’axe vertical). 2.1.2 Trajectoire de phase Soit ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , x t x t x t = la solution du système d’ordre 2 pour des conditions initiales ( ) ( ) ( ) 0 1 2 0 , 0 x x x = . Quand t varie de 0 à l’infini, la solution ( ) x t peut être représentée par une courbe dans le plan de phase. Cette courbe est appelée une trajectoire de phase ou une orbite. 2.1.3 Portrait de phase Le portrait de phase est obtenu en considérant l’ensemble des trajectoires de phase. 2.1.4 Exemple Considérons le système linéaire : 1 2 x x =  et 2 1 x x = −  . Pour une condition initiale ( ) 0 10 20 , x x x = , la solution est donnée par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 10 20 2 10 20 cos sin sin cos x t x t x t x t x t x t = +    = − +   . Ce qui conduit à une équation de la trajectoire dans le plan de phase 2 2 2 2 1 2 10 20 x x x x + = + , qui est l’équation d’un cercle de centre ( ) 0,0 et de rayon 2 2 10 20 x x + . Figure 2.1 : Trajectoires dans le plan de phase 2.2 Points singuliers Les points singuliers sont les points d’équilibre dans le plan de phase. On obtient les points d’équilibre par la résolution des équations algébriques suivantes : ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 2 , 0 0 0 , 0 f x x x x f x x =  =   ⇒   = =      Les points d’équilibre d’un système du second ordre sont appelés points singuliers car la pente ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 1 2 , , f x x d x d x f x x = n’est pas définie en ces points. Exemple : Soit le système régi par l’équation différentielle : 2 0.6 3 0 x x x x + + + =   , et qui peut être écrite sous la forme d’état : 1 2 2 2 2 1 1 0.6 3 x x x x x x =   = − − −    Les points d’équilibres sont obtenus par la résolution des équations :  Salim Labiod 2020 – Université de Jijel 2 ( ) 2 1 1 2 2 1 1 2 0 3 0 0.6 3 0 0 x x x x x x x =  + =   ⇒   − − − = =    , soit deux points d’équilibre à ( ) 0,0 et ( ) 3,0 − . 2.3 Construction pratique des trajectoires de phase Il existe plusieurs méthodes pour la construction et le tracé des trajectoires dans le plan de phase. Parmi ces méthodes, on trouve : - Méthode analytique - Méthode du graphe des pentes - Méthode des isoclines 2.3.1 Méthode analytique Il existe deux méthodes pour générer analytiquement les trajectoires de phase. Elimination du temps explicitement Lorsque le système est relativement simple, on peut déterminer la solution analytique du système ( ) ( ) 1 1 x t g t = et ( ) ( ) 2 2 x t g t = . Ensuite, par élimination de la variable temps de ces deux équations, on obtient la trajectoire dans le plan de phase ( ) 1 2 , 0 g x x = . Elimination du temps implicitement Dans ce cas, on élimine directement le temps en posant : ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 1 2 , , f x x d x d x f x x = , puis on cherche la solution à cette équation différentielle pour obtenir la trajectoire dans le plan de phase ( ) 1 2 , 0 g x x = . Exemple 1 : Considérons le système linéaire : 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 te dx x x x dx x dt x dx x dx x dx x dx C x x dx dx x x dt  =  =  −  ⇒ ⇒ = ⇒ + = ⇒ + =   = −   = −   ∫ ∫   . Ce qui donne : 2 2 2 2 1 2 10 20 2 te x x C x x + = = + , qui est l’équation d’un cercle de centre ( ) 0,0 et de rayon 2 2 10 20 x x + . Exemple 2 : Considérons l’asservissement non linéaire suivant : Figure 2.2 : Asservissement non linéaire Ce système asservi peut être décrit par l’équation différentielle suivante : u θ =  où ( ) sgn u A e = et e = −θ . Si on choisit 1 x = θ et 2 x = θ , on obtient la représentation d’état suivante : 1 2 2 x x x u =   =    avec 1 1 ,si 0 ,si 0 A x u A x + <  = − >  ; 1 0 x = est appelé droite de commutation. Elimination du temps explicitement : 1er cas : u A = + , c’est-à-dire 1 0 x < . Le système est régi par : A -A  Salim Labiod 2020 – Université de Jijel 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 20 1 2 1 20 10 1 2 2 20 2 2 20 2 20 1 2 x At x x x x t At x t x x x x t At x x A x t At x x t At x  = + = = + +   =     ⇒ ⇒ ⇒     = + = = +       = +      On a 2 20 x x t A − = ce qui conduit à une équation de la trajectoire dans le plan de phase : 2 1 1 2 1 2 2 C x x A A = + avec ( ) 2 1 10 20 2 0 C Ax x = − < . 2ème cas : u A = − , c’est-à-dire 1 0 x > . Le système est régi par : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 20 1 2 1 20 10 1 2 2 20 2 2 20 2 20 1 2 x At x x x x t At x t x x x x t At x x A x t At x x t At x  = − + = = − + +   =     ⇒ ⇒ ⇒     = − + = − = − +       = − +      On a 2 20 x x t A − = − ce qui conduit à une équation de la trajectoire dans le plan de phase : 2 2 1 2 1 2 2 C x x A A = − + avec ( ) 2 2 10 20 2 0 C Ax x = + > . Elimination du temps implicitement 1er cas : u A = + , c’est-à-dire 1 0 x < . Le système est régi par : 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-aut-as-m1-snl.pdf