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Centre National de l'Evaluation et des Examens Examen National d’obtention du B

Centre National de l'Evaluation et des Examens Examen National d’obtention du Brevet de Technicien Supérieur Session Mai 2013 Page 1 3 Filières: Systèmes Electroniques – Electrotechnique Productique - Mouliste Durée: 2 Heures Épreuve: MATHEMATIQUES Coefficient: 15 4.5 points Exercice 01 : On se propose de déterminer la fonction f , définie sur ℝ, qui vérifie : f est nulle sur ] [ ,0 −∞ et deux fois dérivable sur [ [ 0 , + ∞ ( ) E : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 sin 3 t f t f t f t e t − ′′ ′ + + = pour tout [ [ 0 , t ∈ + ∞ ( ) 0 0 f + = et ( ) 0 0 f + ′ = On suppose que la fonction f et ses dérivées ont des transformées de Laplace, et l’on note : ( ) ( ) ( ) F p f t = L . 1.5 pt 1/ Préciser les transformées de Laplace des fonctions f ′ ; f ′′ et ( ) ( ) sin 3 t t e t t − → U où U est la fonction échelon unité. 1 pt 2/ En appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de l’équation différentielle ( ) E , déterminer ( ) F p . 1 pt 3/ Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel 0 p 〉 , on ait : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 4 1 9 1 4 1 9 a b p p p p = + + + + + + + + + 1 pt 4/ Déterminer alors la fonction f . 4 points Exercice 02 : 1/ On considère le domaine définit par : ( ) { } 2 , /0 1 0 D x y x et y x = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ℝ 0.5 pt a/ Représenter, dans le plan P munit d’un repère orthonormé ( ) , , O i j , le domaine D . 1.5 pt b/ Calculer l’intégrale suivante : ( )( ) 2 2 1 1 D dxdy x y + + ∫∫ 2/ On considère le domaine définit par : ( ) 2 2 2 1 , / 0 3 2 D x y y et x y   = ∈ ≥ ≤ + ≤     ℝ Examen National d’obtention du Brevet de Technicien Supérieur - Session Mai 2013 Filières : SE - ELT - Productique - Mouliste Épreuve: Mathématiques Page 2 3 0.5 pt a/ Représenter, dans le plan P munit d’un repère orthonormé ( ) , , O i j , le domaine D . 1.5 pt b/ Calculer l’intégrale suivante : ( ) 2 2 D x y dxdy + ∫∫ 5 points Exercice 03 : 1/ On considère la fonction g définie pour tout x élément de + ∗ ℝ par : ( ) ln 2 1 g x x x = + + 1 pt a/ Etudier les variations de g et donner la limite de g en 0+ et en +∞ . 0.5 pt b/ En déduire qu’il existe un unique réel α +∗ ∈ℝ , tel que : ( ) 0 g α = 2/ On considère la fonction f de deux variables réelles définie par : ( ) ( ) ( ) 2 ; : ; ln( ) x y f x y x x x y + ∗ ∀ ∈ × = + + ℝ ℝ 1 pt a/ Calculer en chaque point de ( ) : ; f x y x + ∗ ∂ × ∂ ℝ ℝ et ( ) ; f x y y ∂ ∂ 0.75 pt b/ En déduire que ( ) , 0 α est l’unique point critique de f . 1 pt c/ Calculer en chaque point de ( ) 2 2 : ; f x y x + ∗ ∂ × ∂ ℝ ℝ ; ( ) 2 2 ; f x y y ∂ ∂ ; ( ) 2 ; f x y x y ∂ ∂∂ et ( ) 2 ; f x y y x ∂ ∂∂ 0.75 pt d/ En déduire la nature de ce point critique( ) , 0 α . 6.5 points Exercice 04 : Soit ( ) , , B i j k = la base canonique de l’espace vectoriel 3 ℝ c'est-à-dire : ( ) 1,0,0 i = ; ( ) 0,1,0 j = ; ( ) 0,0,1 k = et soit f l’endomorphisme de 3 ℝdont la matrice relativement à la base B est : 2 3 1 0 4 2 4 12 5 mat f A     = = − −       B 1 pt 1/a/ Calculer ( ) A P x le polynôme caractéristique de la matrice A. 1 pt b/ Vérifier que le spectre de la matrice A est : ( ) { } 0;1;2 Sp A = . 2/ Considérons les vecteurs : ( ) 1 1, 2,4 u = − ; ( ) 2 1, 2,5 u = − ; ( ) 3 3, 4,12 u = − Examen National d’obtention du Brevet de Technicien Supérieur - Session Mai 2013 Filières : SE - ELT - Productique - Mouliste Épreuve: Mathématiques Page 3 3 1 pt a/ Montrer que ( ) 1 2 3 , , B u u u ′ = est une base de 3 ℝ. 1 pt b/ Montrer que la matrice de f relativement à la base B′est : 0 0 0 0 1 0 0 0 2 D     =       (c'est-à-dire que ( ) 1 u est une base du sous espace propre associé à la valeur propre 0 ; ( ) 2 u est une base du sous espace propre associé à la valeur propre 1 ; ( ) 3 u est une base du sous espace propre associé à la valeur propre 2 ). 3/ On considère le système ( ) S d’équations différentielles suivant : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) : 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 12 ( ) 5 ( ) x t x t y t z t S y t y t z t z t x t y t z t ′  = + + ′ = − −  ′ = + +  0.5 pt a/ Ecrire ( ) S sous une forme matricielle . 1 pt b/ Résoudre le système ( ) S . 1 pt c/ Déterminer la solution de ( ) S qui vérifie la condition initiale : ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 0 x y z = −   =   =  Fin de l’épreuve uploads/Ingenierie_Lourd/ examen-2013-math 1 .pdf