Table des matières 1 Plateforme pédagogique du cours 3 1 Note au lecteur . . .

Table des matières 1 Plateforme pédagogique du cours 3 1 Note au lecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Méthodes Pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Pré - Requis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 Fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 Travail à eectuer et contrôle continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 Modalités d'évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8 Planning des séances et déroulement du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9 Travaux Pratiques / Projets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 10 Bibliographie Générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Approximation par diérences nies 9 1 Analyse Numérique des équations aux dérivées partielles (EDP) . . . . . . . . . . . 11 2 Equations Aux Dérivées Partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Concepts Fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Exemples et un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Notion de problème bien posé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Méthode des diérences nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1 Approximation des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Problème Approché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Problèmes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2 Problème Général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Exercices à corriger en classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Problèmes évolutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2 Schéma Explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.3 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.4 θ-Méthode, Schéma de Crank - Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6 Consistance, stabilité et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.1 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7 Analyse de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7.1 Résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2 Analyse du schéma explicite : un+1 = (I + λTd)un. . . . . . . . . . . . . . 27 7.3 Schéma implicite : (I −λTd)un+1 = un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.4 Schéma de Crank - Nicolson : un+1 = (I −λθTd)−1(I + λ(1 −θ)Td)un . . . 28 8 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 ère année Master Mécanique Appliquée - 2011/2012 Pr Hamid El Ouardi 2 TABLE DES MATIÈRES 8.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 9 Conclusion sur la méthode des diérences nies . . . . . . . . . . uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-mdf-master.pdf

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