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CHAPITER I EQUATION DEFFRENTIELLE… - 3 - Fig.(1) y P c 0’ L z z yz φz φz ρ B B’

CHAPITER I EQUATION DEFFRENTIELLE… - 3 - Fig.(1) y P c 0’ L z z yz φz φz ρ B B’ Axe avant déformation Tangente Axe de la poutre après déformation (ligne élastique) y z z y z y z y M>0 M>0 M<0 y  >0 y  <0 M<0 y  <0 y  >0 Fig.(2) Déformation de la poutre fléchie 1. Equations différentielles de l’axe élastique : La détermination des déplacements des poutres fléchies est nécessaire pour deux raisons. 1°- le constructeur doit savoir les déplacements sous l’effet des forces qui agissent sur la poutre pour évaluer sa rigidité, en comparant ses déplacements avec les déplacement admissibles 2°- la détermination des déplacements est demandée dans les calculs des système hyperstatiques, largement utilisés dans les différentes constructions. Généralement on a deux types de déplacements : 1.1. Déplacement linéaires (y - flèche) : déplacements des points de l’axe de la poutre selon la direction à cet axe. Vu que, y varie le long de l’axe de la poutre on écrit y(z) au lieu de y. le déplacement max. est appelé flèche. On le note par ymax ou fmax. 1.2. Angles de rotation ou (rotation) φ : angles entre les plans de la section droite de la poutre avant et après la déformation, ou angles entre les directions de l’axe de la poutre avant et après la déformation, L’angle φ dépend aussi de z c’est pourquoi on écrit φ(z) au lieu de φ. CHAPITER I EQUATION DEFFRENTIELLE… - 4 - Pour déterminer la déformation d’une poutre on profite de l’équation :  x E z M    1 (1) Qui associe la courbure de l’axe au moment fléchissant et la rigidité de la section ( x E). Le cours de mathématique donne la formule suivante pour la courbure d’une ligne :  2 3 2 1 1 y y K        (2) Ou 2 2 ' ' dz y d y  ; dz dy y  ' Portons la valeur de K dans la formule (1), on obtient l’équation exacte de l’axe fléchi d’une poutre (ligne élastique) : x E z M dz dy dz y d                   ) ( 1 2 3 2 2 2 (3) L’intégration de cette équation non linéaire présente de grandes difficultés, pourtant, pour la plupart des problèmes pratiques, la quantité 2 2 2          tg dz dy Peut être négligée par suite de la petitesse des déformations devant l’unité. (Les valeurs réelles de φ (angle de rotation)) est de l’ordre des millièmes de radian, même si on adopte φ=0.01rd →φ2= 2 y=0.0001<<1 En rejetant du dénominateur de la formule (3) 2 yon obtient l’équation différentielle approchée de l’axe fléchi (ligne élastique) : ) ( ' ' z M xy E    (4) L’équation différentielle (4) est simple sont intégration ne présente pas de difficultés. Le choix du signe est déterminé par le système de coordonnées adopté sur la (fig.2a) on a les mêmes signes pour la courbure y K    et le moment M, alors CHAPITER I EQUATION DEFFRENTIELLE… - 5 - y=0 P y=0 y=0 y=0 y’=0 y=y’= 0 P P1 P2 yg=yd g y= d y y’d=y’g Dans ce système de coordonnées l’équation (4) devient : ) ( ' ' z M xy E   (5) Pour le système de coordonnées adopté sur (fig.2.a) : ) ( ' ' z M xy E    (6) Par la suite nous utiliserons le système de coordonnées (fig.2.a) et l’équation différentielle de la ligne élastique sous forme (5). Pour calculer les angles de rotation  ' y dz dy z    et les flèches (déplacements) y(z) il faut intégrer l’équation(5) En intégrant une fois on aboutit à l’équation de l’angle de rotation, avec C -première constante d’intégration     c Mdz xy E ' (7) En intégrant une deuxième fois, on obtient l’équation des flèches :           D CZ dz dz z M y E x (8) Oŭ D est la deuxième constante d’intégration - les constante d’intégration C et D sont déterminées à partir des conditions d’appuis (conditions aux limites).le nombre de conditions ne doit pas être inférieur à deux. Par exemple : CHAPITER I EQUATION DEFFRENTIELLE… - 6 - P m L En calculant les constantes d’intégration, on peut déterminer à l’aide des équation (7) et (8) l’angle de rotation φ et la flèche y dans une section quelconque. Dans de nombreux cas d’après les critères de service, les flèches maximales d’une poutre sont limitées. Par une grandeur définie, la flèches admissible fadm. Celle-ci dépend de la destination de l’ouvrage ou de la machine. Par exemple, pour les poutres de pont roulant on adopte l à f adm        700 1 600 1 , ou l et la travée de la poutre. En construction mécanique, la norme de la flèche maximale varie des limites assez larges, on adopte suivant la destination de la pièce l à fadm        300 1 1000 1 , Les angles d’inclinaison maximaux des sections d’appuis des arbres sur les paliers à rouleaux ne doivent pas dépasser 0,001 rd. CHAPITER I EQUATION DEFFRENTIELLE… - 7 - a b c d z z y M0 T0 m q  2. Méthode des paramètres initiaux : Considérons une partie de la poutre, chargée par un certain système de forces, Soit  x E constante Dans une section courante (z) le moment fléchissant M(z) peut-être écrit : 6 ) ( 2 )² ( ) ( ) ( ) ( 3 1 0 0 0 d z tg c z q b z P a z m Z T M z M d z c z b z a z                (1) Remarque : 1) le signe n x dit que le membre correspondant doit être pris en considération uniquement pour les sections où Z > n. 2) Règle de signe: Un certain membre est positif, s’il provoque le moment fléchissant positif dans une section considérée Z Par exemple : tous les paramètres, représentés en (fig.1) sont Positifs l’équation de le ligne élastique s’écrit : x E M y dz y d    ' ' ² ² (2) En égalisons (1) et (2) nous obtenons :                              6 2 ² ) ( 1 " 3 1 0 0 d z tg c z q b z P a z m Tz M x E y d z c z b z a z  (3) L’intégration de cette équation donne :        C d z tg c z q b z P a z m z T z M x E z dz dy d z c z b z a z                         24 6 2 ² ) ( 2 ² 1 4 3 0 0   (4) CHAPITER I EQUATION DEFFRENTIELLE… - 8 - Et la deuxième intégration :          D CZ d z tg c z q b z P a z m z T z M x E z y d z c z b z a z                         120 24 6 2 ² 6 2 ² 1 5 4 3 3 0 0  (5) Pour Z=0 ; nous avons : C=φ0 et D=y0 où φ0 et y0 sont les valeurs de φ(z) et y(z) à l’origine des cordonnées. Donc l’équation (5) peut-être présentée sous forme : L’intégration de cette équation donne :                                ! 5 ! 4 ! 3 ! 2 )² ( ! 3 ! 2 ² 1 ) ( 5 4 3 3 0 0 0 d z tg c z q b z P a z m z T z M x E z y z y d z c z b z a z   (6) Cette équation s’appelle l’équation universelle de la ligne élastique. (c à dire que cette équation peut-être utilisée pour n’importe quel schéma de calcul). Dans le cas uploads/Ingenierie_Lourd/ deformation-de-la-poutre-flechie.pdf