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Lycée Leconte de Lisle Mémento Notations utilisées dans ce memento • ∀i : Bi =

Lycée Leconte de Lisle Mémento Notations utilisées dans ce memento • ∀i : Bi = ( # — xi, # — yi, # — zi) base orthonormée directe ; Si, ou plus simplement i, solide de repère lié Ri = (Qi, # — xi, # — yi, # — zi) avec Qi point ﬁxe de Si, Gi son centre d’inertie et mi sa masse. Généralités • ∃! # — Ω1/0 tq. ∀# — A d # — A dt |R0 = d # — A dt |R1 + # — Ω1/0 ∧# — A ( # — Ω1/0 : vecteur vitesse de rotation de R1 / R0) −Propriétés : # — Ω1/0 = −# — Ω0/1 = # — Ω1/2 + # — Ω2/0 • Si : B0 n rotations d’angle θi (orienté de Bi−1 vers Bi) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − → et d’axe # — ki (vecteur de base commun à Bi−1 et Bi) Bn alors # — Ωn/0 = n X i=1 # — Ωi/i−1 = n X i=1 . θi # — ki • Si la solution # — X de # — A ∧# — X = # — B existe : # — X = − # — A ∧# — B ∥# — A ∥2 + λ # — A ∀λ Cinématique • Vitesse absolue de M /R0 : # — V (M/0) = d # — Q0M dt |R0 ∀Q0 ∈R0 • Vitesse d’entraînement en M de 1 /R0 : # — V (M ∈1/0) = # — V (Q ∈1/0) + # — MQ ∧# — Ω1/0 ∀Q −Propriétés : # — V (M ∈1/0) = −# — V (M ∈0/1) # — V (M ∈1/0) = # — V (M ∈1/i) + # — V (M ∈i/0) ∀i −Déﬁnition : à tout instant, le champ des vitesses des points de 1 en mouvement par rapport à R0 est un torseur, appelé torseur distributeur des vitesses ou torseur cinématique : n V 1/0 o =      # — Ω1/0 # — V (M ∈1/0)      M −Propriétés : n V 1/0 o = − n V 0/1 o n V 1/0 o = n V 1/i o + n V i/0 o ∀i • Accélération absolue de M /R0 : # — Γ (M/0) = d # — V (M/0) dt |R0 • Cas des mouvements plan sur plan R1/R0 : −Déﬁnition : ∃Π tq. ∀M, # — V (M ∈1/0) / / Π −Propriété : # — Ω1/0 ⊥Π (ou # — Ω1/0 = # — 0 ) V9B0 1 / 6 Lycée Leconte de Lisle Mémento Actions mécaniques, contact entre solides • Torseur des actions mécaniques en M de 1 sur 0 : n 1 →0 o =    # — F (1 →0) # — MM(1 →0)    M −Propriété : n 1 →0 o = − n 0 →1 o (principe des actions mutuelles) • Soit P un point de la surface de contact entre les solides 1 et 2, # — nP vecteur unitaire et normal au plan Π tangent en P aux deux surfaces en contact. On appelle : −Vecteur vitesse de pivotement de 2/1 : # — Ωn 2/1 = ( # — Ω2/1 . # — nP ) # — nP −Vecteur vitesse de roulement de 2/1 : # — Ωt 2/1 = # — Ω2/1 −# — Ωn 2/1 −Vecteur vitesse de glissement en P de 2/1 : # — G (P ∈2/1) = # — V (P ∈2/1) # — G (P ∈2/1) ⊥# — nP # — G (P ∈2/1) = 0 en cas de non-glissement • Lois de Coulomb, frottement sec – si il y a non-glissement ou adhérence au point P de la surface de contact 2/1 : Norme : ∥#— ft P (1 →2) ∥≤f0 ∥#— fn P (1 →2) ∥ #— fP (1 →2) est « à l’intérieur » du cône d’adhérence – si il y a glissement au point P de la surface de contact 2/1 : Direction : #— ft P (1 →2) ∧# — V (P ∈2/1) = # — 0 Sens : #— ft P (1 →2) · # — V (P ∈2/1) < 0 Norme : ∥#— ft P (1 →2) ∥= f ∥#— fn P (1 →2) ∥ #— fP (1 →2) est « sur » le cône de frottement On distingue rarement en pratique le coeﬃcient d’adhérence f0 du coeﬃcient de frottement f. Centre et matrice d’inertie d’un solide • Le centre d’inertie G1 d’un ensemble matériel E1 de masse m1 est déﬁnie par : m1 # — QG1 = Z P ∈E1 # — QP dm • Opérateur d’inertie du solide 1 au point Q1 : # — u − →# — JQ1(1, # — u ) = h IQ1(1) i # — u = Z P ∈1 # — Q1P ∧( # — u ∧# — Q1P) dm(P ) • Moment d’inertie de 1 par rapport à un axe ∆= (Q1, # — i ) ( # — i unitaire) : I∆= # — i . # — JQ1(1, # — i ) V9B0 2 / 6 Lycée Leconte de Lisle Mémento • h IQ1(1) i la matrice d’inertie de 1 au point Q1 exprimée dans une base B1 = ( #— x1, # — y1, # — z1) : h IQ1(1) i =   A −F −E −F B −D −E −D C   B1 Q1 6 # — JQ1(1, #— x1) 6 # — JQ1(1, # — z1) 6 # — JQ1(1, # — y1) avec, si # — Q1P = B1 x y z              A = R P ∈1 (y2 + z2) dm(P ) D = R P ∈1 y z dm(P ) B = R P ∈1 (x2 + z2) dm(P ) E = R P ∈1 x z dm(P ) C = R P ∈1 (x2 + y2) dm(P ) F = R P ∈1 x y dm(P ) • Simpliﬁcations avant calcul de la matrice d’inertie : – symétrie plane Plan de symétrie Simpliﬁcations (Q1, #— x1, # — y1) D = E = 0 (Q1, #— x1, # — z1) D = F = 0 (Q1, # — y1, # — z1) E = F = 0 – symétrie axiale Axe de symétrie Simpliﬁcations (Q1, #— x1) E = F = 0 (Q1, # — y1) D = F = 0 (Q1, # — z1) D = E = 0 – symétrie de révolution Axe de symétrie de révolution Simpliﬁcations La matrice reste inchangée dans ∗ (Q1, #— x1) D = E = F = 0 et B = C ( #— x1, −, −) (Q1, # — y1) D = E = F = 0 et A = C ( −, # — y1, −) (Q1, # — z1) D = E = F = 0 et A = B ( −, −, # — z1) ∗à ne jamais oublier dans les calculs • Matrices d’inertie les plus courantes h IG1(S) i =       1 12 m1 (b2 + c2) 0 0 0 1 12 m1 (a2 + c2) 0 0 0 1 12 m1 (a2 + b2)       B1 G1 y1 x1 a c b G1 z1 h IG1(S) i =        m1 (R2 4 + h2 12) 0 0 0 m1 (R2 4 + h2 12) 0 0 0 m1 R2 2        B1 G1 1 1 1 h R G1 z y x • Théorème de Huyghens : h IM (1) iB1 = h IG1(1) iB1 + h IM ({G1,m1}) iB1 où h IM ({G1,m1}) iB1 = m1   b2 + c2 −ab −ac −ab a2 + c2 −bc −ac −bc a2 + b2   B1 M avec # — MG1 = B1 a b c V9B0 3 / 6 Lycée Leconte de Lisle Mémento Résultante et moment cinétique • Résultante cinétique d’un solide 1/R0 : # — P (1/0) = m1 # — V (G1/0) • Moment cinétique en M d’un solide 1/R0 : # — σ(M, 1/0) = # — σ(Q, 1/0) + # — MQ ∧m1 # — V (G1/0) ∀Q En un point ﬁxe Q1 de 1 : # — σ (Q1, 1/0) = h IQ1(1) i # — Ω1/0 + # — Q1G1 ∧m1 # — V (Q1/0) Au centre d’inertie G1 de 1 : # — σ (G1, 1/0) = h IG1(1) i # — Ω1/0 En un point ﬁxe Q01 de 0 et 1 : # — σ uploads/Ingenierie_Lourd/ memento-de-sciences-de-l-x27-ingenieur-pour-prepa 1 .pdf