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2 SM A et B Devoir libre N°5 2021/2022 Exercice 1: 1 Calculer ż 1 0 ln(1 + x2)d

2 SM A et B Devoir libre N°5 2021/2022 Exercice 1: 1 Calculer ż 1 0 ln(1 + x2)dx 2 Calculer la limite de la suite (uně1) définie par un = 1 n2 n g f f e k=n ź k=1 (n2 + k2) Exercice 2: Soit f on définie sur [1, 2] par: f(x) = e ?x et V le volume du solide (S)e engendré par la rotation de de (Cf) un tour complet autour de l’axe des abscisse (Ox) dans un repère orthonormé ( Figure ci-centre ) On considère les fonctions définies sur [0, +8[ par F(x) = ż x 1 e2 ? tdt et G(x) = ż 2?x 1 tetdt 1 a Montrer que F et G sont dérivables sur ]0, +8[ puis calculer F 1(x) et G1(x) pour tout x P]0, +8[ b Montrer que (@x P [, +8[) : G(x) = (2?x ´ 1)e2?x 2 Calculer le volume V du solide (S) Exercice 3: Les parties I) , II) et III) sont indépendantes Partie I 1 1) Résoudre dans l’ensemble C l’équation (E) : z3 = 1 2 En déduire dans C les solutions de l’équation z3 ´ (z + 1)3 = 0 sous leurs formes algébriques Partie II: Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé directe (O; ⃗ u;⃗ v) Soit B le point d’aﬀixe j = e i2π 3 Soit f l’application qui à tout point M(z) différent de B associe le point M 1(z1) tel que z1 = 1 + jz z ´ j 1 vérifier que j = j2 et que 1 + j + j2 = 0 Année Scolaire: 2021 ´ 2022 1 Lydex:Behgurir 2 a Montrer que z1 = j + 2 z ´ j |z ´ j|2 , en déduire que M 1 ‰ B b Montrer que les points B ; M et M 1 sont alignés c On pose (E) l’ensemble des points invariants par f Montrer que (E) est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon Partie III: On considère le point Ωd’aﬀixe 2 Et soit r la rotation de centre Ωet d’angle π 4 et h l’homothétie de centre Ωet de rapport ? 2 2 Pour tout point M(z) du plan on pose M 2(z2) son image par l’application g = h ˝ r 1 Montrer que z ´ z2 = i(2 ´ z2) 2 En déduire la nature du triangle ΩMM 2 lorsqueM ‰ Ω 3 Soit A le point d’aﬀixe a = 2 + i Pour tout entier naturel n on pose A0 = A et An+1 = g(An) et on pose zn l’aﬀixe du point An Montrer que zn = ( ? 2 2 )n e i(n + 2)π 4 + 2 4 Déterminer l’entier naturel n pour que les points Ω, A0 et An soient alignés Exercice 4: Pour tout n P N on pose In = ż e 1 (1 ´ ln(t))n+1 t2dt 1 Calculer I0 2 Montrer que la suite (In) est décroissante ; en déduire qu’elle est convergente 3 a Montrer que @n P N : In = ż 1 0 (1 ´ t)n+1e3tdt b En déduire que @n P N: 1 n + 2 ď In ď e3 n + 2 ; puis calculer lim nÑ+8 In c Montrer que @n P N˚ : 3In = (n+1)In´1´1 . En déduire que lim nÑ+8 n ż e 1 (1 ´ ln(t))n t2dt = 1 Année Scolaire: 2021 ´ 2022 2 Lydex:Behgurir uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-libre-2-bac-sm.pdf