Institut Supérieur d’Informatique 2ème LFIM et du Multimédia de Sfax Janvier 20

Institut Supérieur d’Informatique 2ème LFIM et du Multimédia de Sfax Janvier 2016 Durée : 1 H 15 mn Examen Probabilités et Statistique Session Principale Une grande importance sera attachée à la qualité de rédaction et au soin de la présentation. Le sujet est composé de deux exercices et un problème. Le problème est composé de trois parties qui peuvent être traiter indépendament, mais il est conseillé de les traiter dans l’ordre croissant. Notons encore que toutes les calculatrices sont autorisées. On donne les valeurs numériques suivantes : φ(0.98) = 0.8365, φ(2.575) = 0.995, χ−1 14 (0,995) = 31.32, χ−1 14 (0,005) = 4.07, t14(2.977) = 0.995, où φ(.) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N (0,1), t14(.) est la fonction de répartition de la loi de Student de degré de liberté 14 et χ14(.) est la fonction de répartition de la loi Khi2 de degré de liberté 14. Exercice 1 : (6 points) Nous étudions l’angle θ sous lequel des électrons sont émis lors d’une désintégration du muon 1. Le cosinus de l’angle x = cos(θ) peut être modéliser par une va- riable aléatoire X de densité de probabilité f(x) = ( 0.5(1+αx), −1 ≤x ≤1, 0, sinon, où α ∈[−1,1] est une paramètre inconnue que l’on veut estimer. Dans la suite X désigne la moyenne d’échantillon X1,...,Xn de la variable aléatoire X. 1. Vérifier que f est bien une densitée de probabilité. 2. Montrer que l’espérance et la variance de X sont données par E(X) = α 3 , V(X) = 1 3  1−α 3  . 3. Montrer que U = 3X est un estimateur sans biais de α. 4. Déterminer l’erreur d’estimateur E (U) = V(U). 1. C’est une particule élémentaire de charge négative mais avec une masse 207 fois plus grande (c’est pourquoi on l’appelle aussi électron lourd). 1 5. Dix observations de X ont données les valeurs 0.1, 0.2, 0.15, 0.2, 0.15, 0.1, 0.1, 0.2, 0.15, 0.15. Donner une estimation ˆ α de α. Exercice 2 : (5 points) Supposons que l’erreur d’arrondissement X lors d’un calcul par ordinateur des racines carrées d’une certaine gamme des nombres est une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle [−0.5,0.5]. Nous nous intéressons à calculer la somme de 50 racines carrées de cette gamme des nombres. Soit X1,...,X50 les erreurs respectifs sur les nombres considérés, X l’erreur moyenne et T l’erreur totale sur la somme des nombres. 1. Déterminer l’espérance E(X) et la variance V(X). 2. Exprimer T en fonction de X. 3. Montrer que T suit approximativement la loi normale N (0, 5/ √ 6). 4. Quelle est approximativement la probabilité pour que l’erreur totale T soit plus petit que 2 ? Problème : (9 points) Sur le réseau internet, la latence est le délai entre le moment où une information est envoyée et celui où elle est reçue. On suppose que la latence peut être modélisée par une variable aléatoire normale de moyenne µ et d’écart type σ, les deux inconnus. Les connexions internet sont parfois ralenties dû à la latence de transmission du réseau. On souhaite quantifier cette latence, ou plus précisément obtenir une estimation par intervalle des para- mètres µ et σ. Partie 1 : Taille minimale d’échantillon L’historique nous indique que l’écart type σ est de l’ordre de 0.15 seconde. On suppose qu’on envoie n paquets sur le réseau internet et on obtient les latences aléatoires X1,...,Xn de même loi normale µ et d’écart type σ = 0.15 seconde. 1. Quelle est la loi de la variable aléatoire Z = X −µ 0.15/√n? 2. Montrer que, pour tout α ∈]0,1[, P X −en(α) ≤µ ≤X +en(α)  = 1−α, où en(α) = 0.15 √n φ −1(1−α/2). Indication : On pourra utiliser sans démonstration l’égalité φ −1(α/2) = −φ −1(1−α/2). 2 3. Déterminer nmin la taille minimale d’échantillon pour obtenir une estimation de µ avec une marge d’erreur plus petite que 0.1 et une valeur de confiance 99%. Partie 2 : Une estimation de µ Sur 15 paquets envoyés sur le réseau, on a obtenu une latence moyenne de x = 0.8 seconde, avec un écart type de s = 0.1 seconde. 1. Quelle est la loi et les éléments caractéristiques de la variable aléatoire T = X −µ S/ √ 15 ? 2. Montrer que, pour tout α ∈]0,1[, P(X −d(α) ≤µ ≤X +d(α)) = 99%, où d(α) = 0.1 √ 15t−1 14 (1−α/2). Indication : On pourra utiliser sans démonstration l’égalité t−1 14 (α/2) = −t−1 14 (1−α/2). 3. Donner un intervalle de confiance de la latence moyenne µ dans le réseau avec valeur de confiance 99 %. Partie 3 : Une estimation de σ Sur 15 paquets envoyés sur le réseau, on a obtenu une latence moyenne de x = 0.8 seconde, avec un écart type de s = 0.1 seconde. 1. Quelle est la loi et les éléments caractéristiques de la variable χ = 14S2 σ2 ? 2. Montrer que, pour tout α ∈]0,1[, P g(α)S ≤σ ≤h(α)S  = 1−α, où g(α) = s 14 χ−1 14 (1−α/2), h(α) = s 14 χ−1 14 (α/2). 3. Donner un intervalle de confiance de l’écart type σ de la latence dans le réseau avec valeur de confiance 99 %. Bonne Chance 3 uploads/Ingenierie_Lourd/ examendlfim-2016.pdf

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Ingénierie latence aléatoire moyenne variable montrer
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