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Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax contact@takiacademy.com www.takiacademy.com 23390248 - 29862815 Magazine de mathématique Nombres Complexes Enoncé Magazine de mathématique Nombres Complexes Enoncé www.TakiAcademy.com Tous droits réservés © TakiAcademy.com : 23390248 - 29862267 1 M6 Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax où co n t a c t @t a k iacademy.com 1°) On note z et b les affixes respectifs des points M et B. www.takiacademy.com . 23390248 - 2 9862815 ( ) OM . Montrer que ' A et C sont symétriques par rapport à O. Placer alors le point C. 2°) Soit H le point d’affixe h avec 1 ² h iz z = + − . a) Soit N le point d’affixe n avec 1 n iz = + . Construire le point N puis déduire une construction du point H. b) Montrer que ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 Aff AH Aff CH iz iz Aff CB Aff BA + = = − . c) Montrer que H est l’orthocentre du triangle ABC. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct( ) , , O u v , on considère les points A et B d’affixes respectives 1 A z i = + et 1 1 2 2 B z i = − + . On désigne par (C ) le cercle de centre O et de rayon 1. 1°) Donner la forme trigonométrique de zA et celle de zB. 2°) Dans la suite de l’exercice, M désigne un point de (C ) d’affixe i e ,   0,2    . On considère l’application f qui tout point M de (C ), associe ( ) f M MA MB =  a) Montrer, pour tout IR  , l’égalité suivante : 2 1 2 sin i i e i e    − = . b) Montrer l’égalité suivante : 2 1 3 ( ) 1 2 2 i i f M e i e     = −− +     . c) En déduire l’égalité suivante : 2 1 3 ( ) 2sin 4 2 f M    = + − +     . 3°) a) En utilisant 2°) c) montrer qu’il existe deux points M de (C), dont on donnera les coordonnées, pour lesquels f(M) est minimal. Donner cette valeur minimale. b) En utilisant 2°) c)., montrer qu’il existe un seul point M de (C ), dont on donnera les coordonnées, pour lequel f (M) est maximal. Donner cette valeur maximale. www.TakiAcademy.com N°6 Magazine N°6 Niveau Bac 7 points EXERCICE N°1  SUJET 5 points EXERCICE N°2  Tous droits réservés © TakiAcademy.com : 23390248 - 29862815 2 M6 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( , , ) O u v I– 1°) A l’aide de la figure : a) Donner A z et B z les affixes respectifs de A et B b) Déterminer 1 D z − puis la forme algébrique de D z (l’affixe du point D) 2°) On admet que : 6 1 . i D z e  = + a) Calculer D z . b) Pour   0,    , Ecrire 1 i e + sous forme exponentielle. c) En déduire la valeur exacte de cos12 . II– A tout point ( ), M z z   ,on associe le point ( ) M z  tel que 1 z z = − . 1°) a) Déterminer une relation entre arg( ) z et arg( ) z. b) En déduire que les points , , O M Msont alignés. 2°) Montrer que ( ) ( ) 1 1 1 z z z + = − . 3°) On suppose que :   \ M O   . a) Montrer que 1 z z   + = . b) En déduire que le point Mappartient à un droite que l’on déterminera. 4°) En déduire de ce qui précède une construction géométrique du point D d’affixe 1 D D z z  − = . 5 points EXERCICE N°3  Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax contact@takiacademy.com www.takiacademy.com 23390248 - 29862815 www.TakiAcademy.com uploads/Ingenierie_Lourd/ magazine2nombres-complexes-enonce.pdf