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Ecole des Mines d’Alès INTRODUCTION A LA METHODE DES ELEMENTS FINIS Cours 3 Ann

Ecole des Mines d’Alès INTRODUCTION A LA METHODE DES ELEMENTS FINIS Cours 3 Année X. Picamoles Année 2010 2011 Introduction à la méthode des éléments finis Page 2 Chapitre 1 : Introduction .......................................................................................................5 Chapitre 2 : Des exemples d’application de la méthode des éléments finis ............................6 Chapitre 3 : La méthode des éléments finis ...........................................................................8 1- Objectif ..........................................................................................................................8 2- Idée générale de la méthode des éléments finis ...............................................................9 Chapitre 4 : Mise en œuvre de la méthode des éléments finis .............................................. 10 1- La formulation faible .................................................................................................... 10 1.1- Formules de Stokes ................................................................................................ 10 1.2- La formulation faible d’un problème différentiel est moins exigeante que le problème initial en termes de régularité ......................................................................... 11 1.3- Equivalence entre le problème différentiel et le problème faible............................. 12 1.4- Formulation faible et discrétisation du problème .................................................... 12 1.5- Exemples de formulations faibles........................................................................... 13 2- Interpolation polynômiale par morceaux ....................................................................... 15 3- Maillage ....................................................................................................................... 17 4- Base nodale et approximation nodale ............................................................................ 18 5- Degrés de liberté........................................................................................................... 19 Chapitre 5 : Fonctions de forme, Eléments finis usuels........................................................ 21 1- Fonctions de forme linéaire pour un élément linéique ................................................... 21 2- Fonction de forme linéaire pour un élément surfacique triangulaire .............................. 22 3- Définition d’un élément fini de type Lagrange .............................................................. 25 4- Quelques éléments finis usuels ..................................................................................... 25 4.1- En dimension un : Éléments finis linéiques ............................................................ 25 4.2- En dimension deux : Éléments finis surfaciques ..................................................... 26 4.3- En dimension trois : Éléments volumiques ............................................................. 26 Chapitre 6 : Calcul des relations élémentaires ..................................................................... 28 1- Calcul des relations élémentaires .................................................................................. 28 2- Exemples de relations élémentaires .............................................................................. 29 2.1- Exemple détaillé .................................................................................................... 29 2.2- Barre en traction compression ................................................................................ 31 2.3- Equation de la chaleur en régime stationnaire avec un second membre constant. .... 31 Chapitre 7 : Élément de référence et isoparamétrie .............................................................. 33 1- Eléments de référence ................................................................................................... 33 2- Isoparamétrie ................................................................................................................ 34 2.1- Le principe ............................................................................................................ 34 Introduction à la méthode des éléments finis Page 3 2.2- Exemple un dimension 1 ........................................................................................ 34 2.3- Exemple en dimension 2 ........................................................................................ 35 2.4- Application à la construction de bords courbes....................................................... 37 Chapitre 8 : Assemblage ..................................................................................................... 38 1- Généralités ................................................................................................................... 38 2- L’assemblage dans le cas général .................................................................................. 40 3- Exemple en dimension 2 ............................................................................................... 41 4- Application ................................................................................................................... 43 Chapitre 9 : Imposition des conditions aux limites .............................................................. 44 Chapitre 10 : Eléments finis usuels, simplifications de modèles et techniques particulières . 45 1- Eléments finis usuels .................................................................................................... 45 1.1- Eléments à définition linéique : poutres et barres ................................................... 45 1.2- Eléments à définition surfacique : membranes, plaques et coques .......................... 46 1.3- Eléments à définition volumique ............................................................................ 46 2- Simplifications de modèles et techniques particulières .................................................. 47 2.1- Axisymétrie ........................................................................................................... 47 2.2- Symétrie plane ....................................................................................................... 47 3- Quels éléments finis choisir ? ....................................................................................... 48 Chapitre 11 : Les éléments finis avec un logiciel ................................................................. 49 1- Les grandes étapes de la modélisation d’une structure continue .................................... 49 2- Architecture du logiciel Ansys ...................................................................................... 49 Chapitre 12 : La méthode des éléments finis en mécanique des structures ........................... 50 1- Le théorème des travaux virtuels .................................................................................. 50 2- Exemple d’une barre en traction compression ............................................................... 50 3- Exemple d’une poutre en flexion .................................................................................. 51 Chapitre 13 : La méthode des éléments finis en thermique .................................................. 52 1- Equation de la chaleur .................................................................................................. 52 2- Formulation faible ........................................................................................................ 52 3- Relations élémentaires .................................................................................................. 53 4- Relation élémentaire dans le cas d’un élément à 2 nœuds .............................................. 53 5- Relation élémentaire dans le cas d’un triangle à 3 nœuds de calculs ............................. 54 Introduction à la méthode des éléments finis Page 4 BIBLIOGRAPHIE 1) Méthode des éléments finis, Gouri DHATT , Gilbert TOUZOT, Emmanuel Lefrançois, Hermes Science Publication, ISBN-10: 2746209799, 2004, 601 pages, 2) Modélisation des structures, calcul par éléments finis, Jean-Charles CRAVEUR, Masson, ISBN 2-225- 83235-8,1997, 323 pages, 3) The finite element method in engineering science, O.C.ZIENKEWICZ McGraw-Hill Inc.,US; 2nd edition,ISBN-10: 0070941386, 1972, 432 pages, 4) Analyse des structures par éléments finis, IMBERT, Cépaduès, ISBN-10: 2854282736, 1991, 504 pages ; 5) Une approche simple du calcul des structures par la méthode des éléments finis, Daniel Gay, Hermès, ISBN-10: 286601197X, 1989, 65 pages ; 6) Mécanique des structures par la méthode des éléments finis, Philippe TROMPETTE, Masson, ISBN 2- 225-82732-X, 1992, 270 pages) ; 7) Méthode des éléments finis en mécanique des structures, Thomas GMUR, Presses polytechniques et universitaires Romandes, ISBN 2-88074-461-X, 2000, 252 pages; 8) http://www.unit.eu/site_institutionnel; 9) http://www.utc.fr/~mecagom4/; ORGANISATION DU COURS Notions sur les fondements théoriques Cours 8h TD 4h Applications, utilisation d’un logiciel de calcul industriel (ANSYS) TP 10h Équipe pédagogique Cours : Serge BASTIDE (Nîmes), Xavier PICAMOLES (Alès) TD/TP : Serge BASTIDE, Xavier PICAMOLES, J.Christophe QUANTIN, Marc VINCHES, Stéphane CORN CONVENTIONS DE NOTATION : désigne un vecteur ligne dont le nombre de composantes est lié au contexte ; désigne un vecteur colonne dont le nombre de composantes est lié au contexte ; désigne une matrice dont le nombre de composantes est lié au contexte ; Introduction à la méthode des éléments finis Page 5 Chapitre 1 : Introduction Les problèmes physiques que rencontre l’ingénieur sont de plusieurs ordres : o Problèmes de structures ; o Problèmes d’échange de chaleur ; o Problèmes de diffusion de polluants ; o Problèmes de mécanique des fluides ; o Problèmes d’électromagnétisme ; o etc… Ils ont tous en commun le fait de pouvoir être décrits mathématiquement à l’aide d’équations aux dérivées partielles et d’opérateurs différentiels. Cela dit, on ne sait pas, en général, résoudre analytiquement ces problèmes sur les domaines d’études. Il est donc nécessaire de recourir à une méthode numérique. Parmi les méthodes numériques de résolution des équations aux dérivées partielles, on trouve par exemple : o La méthode des différences finies, o La méthode des volumes finis, o La méthode des éléments finis. La méthode des éléments finis est la méthode de référence pour une très grande classe de problèmes, ce qui en fait l’une des méthodes la plus répandue et sûrement la plus populaire aujourd’hui. Elle consiste à remplacer le problème différentiel continu par un système linéaire, issu de la discrétisation du problème, dont la résolution donne les valeurs de la solution en différents points d’un maillage (ce qui en fait donc une méthode discrète). Construite à partir d’une forma particulière du problème (dite forme faible), elle fait appel à différentes notions : o La formulation faible du problème ; o Un découpage du domaine d’étude en formes géométriques simples (appelé maillage) ; o Une approximation locale (appelée approximation élémentaire) de la solution exacte sur chaque maille à l’aide de fonctions d’interpolation particulières (appelées fonctions de forme) ; o Le « recollement » de toutes les approximations locales pour obtenir une approximation globale (appelé assemblage) Historiquement, c’est une méthode récente (années 60) initiée par les « mécaniciens » et dont l’évolution a suivi celle de la puissance informatique. Elle fait appel à différents domaines : Physique, méthodes numériques, méthodes variationnelles, informatique Il existe plusieurs logiciels industriels qui permettent d’automatiser des tâches de calcul et, en particulier, l’étape importante du maillage. SYSTUS CAEDS (CATIA) SAMCEF (aérospatiale) CESAR (ponts et chaussées) CASTOR (métallurgie et mécanique) EFFEL (génie civil et bâtiment) ANSYS (code général multiphysique utilisé à l’Ecole des Mines d’Alès) Introduction à la méthode des éléments finis Page 6 Chapitre 2 : Des exemples d’application de la méthode des éléments finis État des contraintes à l’intérieur du barrage calculé par éléments finis Introduction à la méthode des éléments finis Page 7 Déformée et contraintes à l’intérieur d’un pont Déformée et contraintes dans une bielle Introduction à la méthode des éléments finis Page 8 Chapitre 3 : La méthode des éléments finis 1- Objectif L’objectif est la résolution de problèmes différentiels avec conditions aux limites (et éventuellement conditions initiales) rencontrés, par exemple, en mécanique des structures, transferts thermiques ou mécanique des fluides. On peut illustrer cela avec le problème académique du Laplacien décliné en dimension deux : sur sur sur Les deux dernières équations sont des conditions aux limites sur le bord du domaine. La première est de type Dirichlet, la seconde de type Neuman. Ou bien en dimension 1 : sur Chercher à résoudre le problème sur un domaine complexe est en général illusoire. L’objectif est donc de développer une méthode numérique permettant d’aborder ce type de problème sur des domaines quelconques. Introduction à la méthode des éléments finis Page 9 2- Idée générale de la méthode des éléments finis La méthode des éléments finis est construite à partir de deux idées simplificatrices : o La partition du domaine en sous-domaines de formes simples (triangles, quadrangles par exemple en deux dimensions) ; o L’approximation de la solution (qui peut être le champ des déplacements, des températures, des pressions etc.) par des fonctions simples et continues par morceaux définies sur chaque sous-domaine, en général des polynômes. Sur chaque élément, on utilise une approximation nodale, ce qui signifie que l’approximation est entièrement caractérisée par un nombre fini de valeurs prises par le champ en des points particuliers appelés nœuds de calcul. Dans la terminologie, uploads/Ingenierie_Lourd/ mef-cours-complet-11-12.pdf