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Université Paris Diderot UFR de mathématiques Licences de Physique, Chimie, STE

Université Paris Diderot UFR de mathématiques Licences de Physique, Chimie, STEP L1 – Interactions Mathématiques-Physique Feuille d’exercices no 1 Éléments de langage mathématique. Égalités, équations. 1 Propositions, valeur de vérité, variables, quantiﬁcateurs. Les propositions mathématiques sont des phrases qui énoncent des faits concernant les objets mathéma- tiques. On retiendra surtout qu’une proposition est susceptible d’être vraie ou fausse, c’est-à-dire d’avoir une valeur de vérité : 1. 6 est pair proposition dont on sait qu’elle est vraie 2. 11 est pair proposition dont on sait qu’elle est fausse 3. Est-ce que 47 est pair ? pas une proposition 4. Il est bien connu que 8 est pair pas une proposition 5. n est pair (n est une variable de type entier naturel) proposition, mais on ne peut pas savoir si elle est vraie ou fausse car on n’a pas assez d’informations sur l’individu n 6. n est pair ou n est impair on n’a pas plus d’information sur l’individu n, mais cela ne nous empêche pas de savoir que cette proposition est vraie. Une particularité du langage mathématique est la présence de variables. Une variable est une lettre, éventuellement aﬀectée d’indice(s). C’est un nom d’objet, qui ne désigne pas un objet particulier mais a vocation à désigner des objets pris dans un certain domaine (on dira alors que la variable est astreinte à ce domaine, ou que la variable désigne un élément de tel domaine, ou on parlera du type de la variable). Considérons par exemple la proposition : (*) n est pair (dans laquelle la variable n est astreinte à l’ensemble des entiers naturels, c’est-à-dire que n désigne un entier naturel) Elle énonce un fait concernant un individu nommé n, nous pouvons dire qu’elle “parle de n”. Dans cette proposition, la variable n est libre (on dit aussi parlante). Nous voyons bien que la variable n joue un rôle très diﬀérent dans la proposition : (**) Pour tout n ∈N, n2 ≥n (ici, il n’est pas utile de préciser que la variable n est astreinte à l’ensemble des entiers naturels, puisque c’est écrit avec la quantiﬁcation) Cette proposition n’énonce pas un fait concernant un individu nommé n, mais une propriété (vraie) de l’ensemble des entiers naturels (que nous pourrions d’ailleurs reformuler sans variable : “le carré d’un entier naturel est (toujours) supérieur à cet entier”). Dans cette proposition, la variable n est liée (on dit aussi muette). On peut remplaçer la variable n par une autre lettre, sans changer le sens de la proposition (les propositions “Pour tout n ∈N, n2 ≥n” et “Pour tout m ∈N, m2 ≥m” disent exactement la même chose, ce qui n’est pas le cas des proposition “n est pair” et “m est pair” puisque l’une parle de n et l’autre de m). La proposition (**) est construite avec le quantiﬁcateur universel “pour tout. . . ”. Dire que cette proposi- tion est vraie, c’est dire que toutes les propositions obtenues en remplaçant, dans la proposition “n2 ≥n”, la variable n par un entier naturel sont vraies. La proposition “Pour tout n ∈N, n2 ≤n” est fausse, car il y a des entiers naturels qui ne vériﬁent pas n2 ≤n. On dit qu’on a des contre-exemples (2 est, par exemple, un contre-exemple). On peut aussi construire une proposition avec le quantiﬁcateur existentiel “il existe. . . tel que. . . ”: la proposition “Il existe n ∈N tel que n2 ≤n” est vraie. En eﬀet, on a 02 ≤0 (mais aussi 12 ≤1). Les quantiﬁcateurs Pour tout . . . (∀) et Il existe . . . (∃) ont la particularité de rendre muette la variable à laquelle ils sont associés. Année 2019-20 Qu’en est-il en physique ? Lorsqu’ils déﬁnissent des modèles visant à décrire la réalité physique, les physiciens introduisent des “grandeurs” qui sont souvent dimensionnées (distances, vitesses, masses, énergies. . . ). On associe à chaque grandeur une notation qui permette de parler de cette grandeur, et on construit des propositions du type “Ec = 1 2mv2” qui portent sur les relations entre grandeurs. Comme en mathématiques, ces propositions peuvent être vraies ou fausses; mais la validité (on utilisera en physique plutôt cette expres- sion que valeur de vérité) d’une proposition dépend également du modèle et des approximations permises par ce modèle. Par exemple, Ec = 1 2mv2 est vraie pour un point matériel de masse m, de vitesse v, et d’énergie cinétique Ec, dans un modèle de mécanique classique newtonienne (i.e. pour des vitesses très largement inférieures à la vitesse de la lumière). A noter également que lorsqu’un physicien écrit Ec = 1 2mv2, il s’intéresse d’abord à la relation algébrique entre ces grandeurs, et pas à leurs valeurs numériques (qui dépendent du système d’unités choisi). Il est donc rare qu’un physicien écrive “m appartient à l’ensemble R∗”. Si m est une masse il écrira avant tout “[m] = M” (qui se lit “dimension de m = masse”), et il considérera comme valide la proposition “m ≥0” (une masse est toujours positive). Mais une proposition du type “m = 2” sera automatiquement non-valide puisque non-homogène (le terme de droite doit aussi être une masse, et 2 n’est pas une masse). Exercice 1 (Vrai ou faux ?*). Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses : 1. Pour tout x ∈N, x ≥0 2. Pour tout x ∈N, x > 0 3. Pour tout x ∈R, x ≥0 4. Il existe x ∈N tel que x > 0 5. Pour tout x ∈N, pour tout y ∈N, x < y 6. Pour tout x ∈N, il existe y ∈N tel que x < y 7. Il existe x ∈N tel que pour tout y ∈N, x ≤y 8. Il existe x ∈R tel que pour tout y ∈R, x ≤y 2 2 Équivalence entre deux égalités. Deux égalités comportant des variables sont équivalentes lorsqu’elles sont vraies exactement pour les mêmes valeurs des variables. Regardons par exemple les égalités ci-dessous dans lesquelles les variables x et y désignent des réels : x + y = 7 est équivalente à 2x + 2y = 14. En eﬀet, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables x et y, les égalités x+y = 7 et 2x+2y = 14 sont soit toutes les deux vraies (par exemple pour x = 3 et y = 4), soit toutes les deux fausses (par exemple pour x = 3 et y = 2). On note cette équivalence avec l’expression si et seulement si et en utilisant le quantiﬁcateur universel : Quels que soient les réels x et y, x + y = 7 si et seulement si 2x + 2y = 14 On peut aussi écrire de façon plus symbolique : ∀x ∈R ∀y ∈R (x + y = 7 ⇔2x + 2y = 14) Les égalités x = 2y et x2 = 4y2 ne sont pas équivalentes car lorsque x = 2 et y = −1, la première est fausse alors que la deuxième est vraie. Certaines opérations eﬀectuées sur les deux termes d’une égalité préservent l’équivalence, c’est-à-dire qu’elles transforment une égalité en une autre égalité équivalente (ceci est également mentionné dans le TD1 de la partie “Physique”, mais dit d’une autre façon). Par exemple, l’égalité 2x+2y = 14 est obtenue en multipliant chaque terme de l’égalité x + y = 7 par 2 (on a également développé le terme de gauche), or cette opération préserve l’équivalence. Exercice 2 (Rappel des opérations qui préservent l’équivalence*). Dans cet exercice, a et b désignent des nombres réels. Dire quelles sont les opérations qui préservent l’équivalence. Éventuellement, faire les restrictions nécessaires sur les domaines dans lesquels les variables prennent leurs valeurs (pour que les égalités aient un sens, ou pour que les opérations préservent l’équivalence). 1. Ajouter (ou soustraire) un réel c : a = b équivalente à a + c = b + c ? 2. Multiplier par un réel c : a = b équivalente à ac = bc ? 3. Diviser par un un réel c : a = b équivalente à a c = b c ? 4. Passage à l’inverse : a = b équivalente à 1 a = 1 b ? 5. Passage à la racine carrée : a = b équivalente à √a = √ b ? 6. Passage au carré : a = b équivalente à a2 = b2 ? 7. Avec la fonction exponentielle : a = b équivalente à ea = eb ? 8. Avec la fonction logarithme : a = b équivalente à ln a = ln b ? Exercice 3 (Transformer une égalité en une égalité équivalente**). Dans les égalités suivantes, les variables désignent des nombres réels. Exprimer la variable a en fonction des autres variables (c’est- à-dire transformer l’égalité en une égalité équivalente du type a = . . . ) : 1. 2a + 7 = 5a −8 2. 2ab −c = 3ac −4 3. −2ab + 3 6 = c −a b −1 3 3 Équations. Nous l’avons vu dans le paragraphe précédent, l’égalité x + uploads/Litterature/ 1-propositions-valeur-de-verite-variables-quantificateurs.pdf