IUT Digne Année 2007-2008 DUT Génie biologique TD Proba-Stat feuille n◦ 2 Dénom

IUT Digne Année 2007-2008 DUT Génie biologique TD Proba-Stat feuille n◦ 2 Dénomb rements et (équi)-p robabilité Exer i e 1 P our a éder à un servi e sur In ternet, v ous dev ez tap er un mot de passe de 4 lettres hoisies dans l'alphab et latin ma jus ule (26 ara tères). 1. Com bien de mots de passe de 4 lettres p eut-on réer ? 2. Com bien de mots de passe de 4 lettres distin tes p eut-on réer ? m Exer i e 2 La so iété YOPMILK fabrique des y aourts aux fruits a v e dix parfums diéren ts. Le dire teur des v en tes prop ose de onstituer des lots de quatre p ots de parfums tous diéren ts. 1. Com bien de lots distin ts p eut-on former de ette façon ? 2. Com bien de lots distin ts p eut-on former de ette façon sa han t qu'ils ne doiv en t pas on tenir sim ultanémen t un p ot à la fraise et un à la fram b oise ? 3. Le servi e ommer ial a abandonné ette idée. Désormais il souhaite des lots de quatre p ots a v e quatre parfums quel onques, 'est-à-dire non tous diéren ts. Com bien de lots distin ts p eut-on former de ette façon ? m Exer i e 3 Une étagère on tien t trois romans, deux livres de mathématique et un de himie. Com bien de manières p eut on ranger l'étagère si : 1. au une restri tion n'est mise, 2. les livres de mathématique doiv en t être rangés ensem ble et les romans aussi, 3. seuls les romans doiv en t être rangés ensem ble, 4. au une restri tion n'est mise, mais les ouvrages d'une même olle tion son t indis ernables, 5. les livres de mathématique doiv en t être rangés ensem ble et les romans aussi, mais les ouvrages d'une même olle tion son t indis ernables ? m Exer i e 4 Soit n ∈N , mon trer les égalités suiv an tes : n X i=0 (−1)kCk n = 0, n X i=0 Ck nCn−k n = Cn 2n, n X i=0  Ck n 2 = Cn 2n. m Exer i e 5 Dans un lub de sp ort, 36 mem bres jouen t au tennis, 28 jouen t au squash et 18 jouen t au badmin ton. En outre, 22 mem bres jouen t au tennis et au squash, 12 pratiquen t le tennis et le badmin ton, 9 jouen t au squash et au badmin ton et p our nir 4 pratiquen t les 3 sp orts. Com bien de mem bres de e lub pratiquen t au moins un des trois sp orts ? m Exer i e 6 Quelle est la probabilité p our que, dans un group e de n p ersonnes hoisies au hasard, deux au moins aien t la même date d'anniv ersaire ? On onsidère que l'année a 365 jours tous équiprobable. Quelle est la probabilité p our la promo du DUT Génie Biologique de Digne ? m Exer i e 7 Un group e omp osé de 8 hommes et 6 femmes doit désigner 4 de ses mem bres p our les représen ter. Si la désignation se fait au hasard, quelle est la probabilité p our que le group e des représen tan t 1 1. ne omp orte que des hommes ? 2. ne omp orte que des femmes ? 3. omp orte un nom bre égal d'hommes et de femmes ? m Exer i e 8 Lors d'une olle te de sang, 18 p ersonnes se son t présen tées. P armi elles- i, on a noté 11 p ersonnes du group e O, 4 p ersonnes du group e A, 2 p ersonnes du group e B et une p ersonne du group e AB. A l'issue de la olle te, on prélèv e au hasard 3 a ons parmis les 18 obten us. Cal uler la probabilité des év énemen ts suiv an ts : 1. les sangs des 3 a ons appartiennen t au même group e ; 2. parmi les 3 a ons prélév és, il y a au moins 1 a on on tenan t du sang du group e A ; 3. les sangs des 3 a ons appartiennen t à trois group es diéren ts. m Exer i e 9 On lan e inq fois une piè e de monnaie bien équilibrée. Quel est l'ensem ble des résultats p ossibles ? T rouv er un univ ers Ω et une probabilité P p ermettan t de mo déliser l'exp érien e. Quelle est la probabilité : 1. d'obtenir exa temen t une fois "fa e" ? 2. d'obtenir au moins une fois "fa e" ? 3. d'obtenir quatre "pile" au moins ? 4. d'obtenir "pile" au premier tirage puis au moins une fois "fa e" dans les quatre suiv an ts ? 5. d'obtenir "pile" au premier tirage ou "fa e" au troisième tirage ? 6. d'obtenir plus de "fa e" que de "pile" ? 7. d'obtenir une série de longueur 3 au moins ( 'est à dire : au moins trois "pile" onsé utiv es ou trois "fa e" onsé utiv es) ? m Exer i e 10 Une é ole prop ose trois ours de langue : un en espagnol, un en français et un en allemand. Ces ours son t ouv erts aux 100 élèv es de l'é ole. Il y a 28 étudian ts en espagnol, 26 en français et 16 en allemand. Il y a 12 étudian ts qui suiv en t l'espagnol et le français, 4 qui suiv en t l'espagnol et l'allemand et 6 qui étudien t le français et l'allemand. De plus, 2 élèv es suiv en t les trois ours. 1. On hoisit un élèv e au hasard, quelle est la probabilité qu'il fasse partie d'au un de es ours ? 2. On hoisit un élèv e au hasard, quelle est la probabilité qu'il suiv e exa temen t un ours de langue ? 3. On hoisit 2 élèv es au hasard, quelle est la probabilité qu'au moins un des deux suiv en t un ours de langue ? m Exer i e dé 1 Charlotte des end les mar hes d'un es alier une ou deux à la fois. Com bien y a t-il de manières de des endre et es alier sa han t qu'il y a n mar hes ? Ä Exer i e dé 2 Les probabilités des diéren ts totaux qu'on p eut obtenir en lançan t deux dés et somman t les résultats obten us sur les deux fa es étonnen t les p ersonnes non familière aux probabilités. En eet, par exemple, la probabilité d'obtenir un total de 2 est de 1 36 alors que la probabilité d'obtenir un total de 4 est de 1 12 , 'est à dire trois fois plus grande ! Est-il p ossible de truquer deux dés de façon à e que la pr ob abilité d'obtenir ha un des r ésultats 2, 3, . . . , 12 , soit é gal à 1 11 ? Cette question a une in terprétation mathématique et une in terprétation ph ysique. Du p oin t de vue mathématique, on demande s'il est p ossible d'attribuer des probabilités p1, p2, p3, p4, p5, p6 aux fa es de l'un des dés et des probabilités q1, q2, q3, q4, q5, q6 aux fa es de l'autre dé de façon que l'on obtienne toujours 1 11 lorsqu'on al ule les probabilités des résultats de la somme des deux dés. Du p oin t de vue ph ysique, on demande s'il est p ossible de répartir des plom bs d'une ertaine façon, puis de ouler du plastique autour des plom bs de manière à obtenir exa temen t es probabilités. Bien sûr, on ne s'in téresse i i qu'à la question mathématique. Ä 2 IUT Digne Année 2007-2008 DUT Génie biologique TD Proba-Stat feuille n◦ 2 Dénomb rements et (équi)-p robabilité (Solutions) Corr e tion 1 1. 264 = 456976 2. A4 26 = 358800 Corr e tion 2 1. C4 10 = 210 . 2. C4 8 + C3 8 + C3 8 = 182 ou C4 10 −C2 8 = 182 . 3. K4 10 = C4 10+4−1 = 715 . Corr e tion 3 1. 6! , 2. 3!3!2! = 72 , 3. 4!3! = 148 , 4. 6! 3!2! = 15 , 5. 3! = 6 . Corr e tion 6 p = 1 −An 365 365n = 1 −(1 − 1 365) . . . (1 −n−1 365 ) . Corr e tion 7 1. C4 8 C4 14 = 5 13×6×11 ≈ 2. C4 6 C4 14 =≈ 3. C2 8×C2 6 C4 14 uploads/Litterature/ 10-exercices-solutions-en-d-nombrements-et-qui-probabilit.pdf

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littérature probabilité group d'obtenir trois moins
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