Université Paul Sabatier 2011/12 Y MEI M1  Préparation à l'écrit  Sujet 1  (

Université Paul Sabatier 2011/12 Y MEI M1  Préparation à l'écrit  Sujet 1  ( 12 & 19 Janvier 2012). Y Exercice 1. (extrait capes 2012) Étant donné une fonction f de variable réelle dé nie sur un intervalle I d'intérieur non vide, on dit que f est uniformément continue sur I si : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀(x, y) ∈I × I : |x −y| ≤η = ⇒|f(x) −f(y)| ≤ε  . (1) Écrire à l'aide de quanti cateurs la proposition  f n'est pas uniformément continue sur I . (2) On rappelle qu'une fonction est lipschitzienne sur I de rapport k (où k est un réel stric- tement positif) si : ∀(x, y) ∈I × I : |f(x) −f(y)| ≤k · |x −y|. Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I. (3) (a) Montrer que pour tous réels x et y on a : |x| −|y| ≤|x −y|. (b) Montrer que la fonction dé nie sur R par f(x) = 1 1+|x| est uniformément continue sur R. (4) (a) Montrer que pour tous réels positifs x et y on a : √x + y ≤√x + √y et √x −√y ≤|x −y|1/2. (b) Montrer que la fonction g : x 7→√x est uniformément continue sur R+. (c) Montrer que la fonction g n'est pas lipschitzienne sur R+. (5) (a) En considérant les deux suites de réels (xn)n∈N et (yn)n∈N dé nies pour tout entier n par xn = √n + 1 et yn = √n, montrer que la fonction h : x 7→x2 n'est pas uniformément continue sur R. (b) La fonction h est-elle lipschitzienne sur R ? (6) On considère les fonctions dé nies sur R+ par h1(x) = sin(x2) et h2(x) = sin(√x) (a) Esquisser l'allure de la représentation graphique des fonctions h1 et h2 sur [104, 104+ 1]. Commentaire ? (b) Étudier la continuité uniforme de la fonction h1. (c) Montrer que |h2(x) −h2(y)| ≤|√x −√y|. h2 est-elle uniformément continue sur R+ ? (7) Soit F une application uniformément continue de R+ dans R. On se propose de montrer qu'il existe deux réels a et b tels que ∀x ∈R+ : |F(x)| ≤ax + b. (a) Justi er l'existence d'un réel η1 > 0 tel que : ∀(x, y) ∈R+ × R+ : |x −y| ≤η1 = ⇒ |F(x) −F(y)| ≤1  . (b) Soit x0 ∈R+ et soit n0 ∈N le plus petit entier tel que x0 n0 ≤η1. Justi er l'existence de n0 et exprimer n0 en fonction de x0 et η1. (c) Montrer que |F(x0) −F(0)| ≤ n0−1 X k=0 F (k + 1)x0 n0  −F kx0 n0  . 1 2 (d) Conclure. (8) (a) Étudier la continuité uniforme sur R d'un polynôme de degré supérieur ou égal à 2. (b) La fonction exponentielle est-elle uniformément continue sur R ? (9) Le théorème de Heine. Soit I = [a, b] (a < b) un segment de R. On se propose de démontrer le théorème de Heine :  Si une fonction G est continue sur I, alors elle est uniformément continue sur I . On suppose dans la suite que G est continue sur I = [a, b] et que G n'est pas uniformément continue sur I. (a) Justi er qu'il existe un réel ε > 0 et deux suites (xn)n∈N et (yn)n∈N d'éléments de I tels que pour tout entier n ≥1 : |xn −yn| ≤1/n et |G(xn) −G(yn)| > ε. (b) Justi er qu'il existe deux sous-suites convergentes (xσ(n))n∈N et (yσ(n))n∈N d'éléments de I telles que pour tout entier n ≥1 : |xσ(n) −yσ(n)| ≤1/n et |G(xσ(n)) −G(yσ(n))| > ε. (c) Montrer que lim n→+∞xσ(n) = lim n→+∞yσ(n). (d) Conclure. (10) Soit J un intervalle d'intérieur non vide. Une fonction G uniformément continue sur tout intervalle [a, b] inclus dans J est-elle nécessairement uniformément continue sur J ? (11) En écrivant R+ = [0, 1] ∪[1, +∞[, donnez une autre démonstration de l'uniforme conti- nuité de g : x 7→√x sur R+. (12) (a) Soit f : R+ →R+ continue, positive et telle que R ∞ 0 f(t)dt converge. Peut-on a rmer que limx→+∞f(x) = 0 ? (b) Si f est de plus uniformément continue sur R+, montrer que limx→+∞f(x) = 0. (13) Soit f ∈C (R) admettant des limites nies en ±∞, montrer que f est uniformément continue sur R. (14) Donner d'autres démonstration que celle proposée en (6-b) pour la non périodicité de f(x) = sin(x2). 19 janvier 2012 Lassère Patrice : Institut de Mathématiques de Toulouse, laboratoire E.Picard, UMR CNRS 5580, Université Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 TOULOUSE. Page perso. : http ://www.math.univ-toulouse.fr/ lassere/masterenseignement.html Mèl : lassere@math.ups-tlse.fr 3 Corrigé (1) ∃ε > 0, ∀η > 0, ∃(x, y) ∈I × I véri ant |x −y| ≤η et |f(x) −f(y)| ≥ε. (2) Soit ε > 0, si f est lipschitzienne sur I de rapport k > 0 alors en posant η = ε/k on aura ∀(x, y) ∈I × I : |x −y| ≤η implique |f(x) −f(y)| ≤k · |x −y| ≤kε/k = ε. f est donc bien uniformément continue sur I. (3) (a) Soient x, y ∈R, par l'inégalité triangulaire |x| ≤|x −y| + |y| soit |x| −|y| ≤|x −y|. Pour la seconde inégalité il su t d'échanger les rôles de x et y. (b) Soient x, y ∈R, nous avons |f(x) −f(y)| = 1 1+|x| − 1 1+|y| = |y|−|x| (1+|x|)(1+|y|) ≤ ||y| −|x|| ≤|x −y| vu (3-a). f est donc lipschitzienne sur R donc (question (2)) uniformément continue sur R. (4) (a) Soient x, y ∈R+, on a l'inégalité évidente 0 ≤x + y = (√x + y)2 ≤x + y + 2√xy = (√x + √y)2. La racine étant croissante sur R+ l'inégalité √x + y ≤√x + √y en découle. Pour la seconde, si x ≥y la première inégalité assure que √x = √x −y + y ≤√x −y + √y soit |√x −√y| = √x −√y ≤√x −y = p |x −y|. Si x < y on échange les rôles de x et y. (b) La seconde inégalité vue en (4-a) s'écrit |g(x) −g(y)| ≤|x −y|1/2 (pour la culture, on dit que g est 1/2-hölderienne sur R+). Soit ε > 0, posons η = ε2, alors |x−y| ≤η implique |g(x) −g(y)| ≤|x −y|1/2 = √ ε2 = ε. g est bien uniformément continue sur R+. (c) Si g est lipschitzienne sur R+ alors il existe k > 0 tel que |√x −√y| ≤k|x −y| pour tous x, y ∈R+. En particulier si x = 0 on aura 0 ≤√y ≤ky pour tout y > 0, soit 1/√y ≤k pour tout y > 0, ce qui est absurde puisque lim0+ 1/√y = +∞. g n'est donc pas lipschitzienne sur R+ (5) (a) Si h est uniformément continue sur R alors il existe η > 0 tel que |x−y| < η implique |h(x) −h(y)| < 1. Or, |xn −yn| = xn −yn = √n + 1 −√n = 1 √n+1+√n − → +∞0 : il existe donc n0 tel que n ≥n0 implique |xn−yn| < η. Mais une telle situation ne peut se produire puisque f(xn) −f(yn) = 1 pour tout n ∈N. h n'est pas uniformément continue sur R. (b) h n'est pas lipschitzienne sur R vu les questions (5-a) et (2). (6) (a) Lorsque x décrit [104, 104 + 1], √x décrit approximativement l'intervalle [100, 100.005] alors que x2 décrit l'inter- valle [104, 104 + 20001]. En particulier h1 va décrire sur l'intervalle de longueur 1, [104, 104 + 1] environ 20001/2π = 3180 oscillations (il y en a bien moins sur la gure !) alors que sur ce même intervalle h2 en décrira 0.005/2π ≃8 · 10−4. Il semble donc que les oscillations de h1 s'accumulent au fur et à mesure que l'on se rapproche de l'in ni alors que celle de h2 se raré ent. Tout ceci est sans ri- gueur mathématique mais traduit assez précisément ce qu'il se passe, il semble clairement que h1 ne va pas être uniformément continue sur R+ au contraire de h2. 4 (b) Pour h1 on raisonne comme dans la question (5-a) : les suites de terme général xn = p 2nπ + π/2 et yn = p 2nπ + 3π/2 véri ent limn(xn −yn) = 0 et |h1(xn) − h2(yn)| = 2. Comme dans (5-a), h1 ne peut être uniformément continue sur R+. (c) On a |h2(x) −h2(y)| = | sin √x −sin √y| = 2 sin  √x−√y 2  cos  √x+√y 2  ≤2 sin  √x−√y 2  ≤|√x −√y| ≤ p |x −y| (on a successivement utilisé les in- égalités : | cos(u)| ≤1 puis | sin(u)| ≤|u| et en n |√x −√y| ≤ p |x −y| démontrée en (4-a)). h2 est donc 1/2-hölderienne sur R+ ; comme g en (4-b) elle est donc uni- formément continue sur R+. Il est bien entendu plus simple (mais peut être moins sportif) et plus raisonnable d'appliquer le théorème des uploads/Litterature/ 2012-capes-devoir-1.pdf

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