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Ecole Polytechnique d’Antananarivo Distributions Auteur :Randimbindrainibe Fali

Ecole Polytechnique d’Antananarivo Distributions Auteur :Randimbindrainibe Falimanana 1 DISTRIBUTIONS §1 Introduction L'objet de ce chapitre est de justifier l'introduction des nouveaux objets mathématiques appelés distributions. L'origine de ce terme provient de la notion physique de distribution de charge ou de masse. On les appelle encore fonctions généralisées. Elles sont encore introduites pour que la notion de dérivation soit applicable à une classe de fonctions qui ne sont pas continues. Illustrons tout ce que nous venons de dire par trois exemples. 1.1. Exemple 1. Fonction de Heaviside. On appelle fonction de Heaviside ou bien fonction échelon unité, la fonction notée ) t ( Y ou ) t ( H définie par:         0 t si 0 0 t si 1 ) t ( u ) t ( H ) t ( Y . Cette fonction peut représenter l'intensité, d'un courant continu dans un circuit, égale à l'instant 0  t . La fonction ) t ( H n'est pas dérivable en 0 t  et, en tout point 0 t  on a 0 ) t ( H   . Cependant si on suppose que, au temps 0  t , le courant s'établit linéairement dans un très petit intervalle de temps, on peut considérer que ) 0 ( Y est égale à l'infini. On peut donc définir Y, notée , par le physicien Paul Dirac, dans sa formulation de la mécanique quantique par:            0 t si 0 0 t si ) t ( H ) t ( Y illustré dans la figure ci-dessous figure 1 Si l'on veut calculer l'intégrale sur ℝ de cette "fonction"  (fig. 1), on doit écrire   1 ) t ( H dt ). t ( H dt ). t ( t t R R            (1.1) résultat en contradiction avec l'analyse mathématique classique, car l'intégrale d'une fonction nulle presque partout, ici sur ℝ* , est nécessairement nulle. Ces objets mathématiques ressemblent à des fonctions sans en être véritablement. Ecole Polytechnique d’Antananarivo Distributions Auteur :Randimbindrainibe Falimanana 2 1.2. Exemple 2 fonctions impulsions. On appelle fonction impulsion la fonction définie pour tout 0   par:             aileurs 0 , 0 x si 1 ) x ( f , (1.2) c'est une fonction continue presque partout sur l'axe réel, de plus 1 dx . 1 dx ). x ( f 0 R       La suite de fonctions   0 ) x ( f    définit l'activation d'un compteur. En faisant tendre  vers  0 , cette suite de fonctions converge vers la "fonction" de Dirac ) x (  et l'on obtient: 1 dx ). x ( R    Ainsi la "fonction" de Dirac ) x (  est encore appelée fonction impulsion unité. 1.3. Exemple 3. Potentiel électrostatique. Imaginons maintenant une charge 0 Q  répartie le long d'un axe, entre les points d'abscisse h  et h , avec une densité au point x égale à ) x ( h  . Cette fonction densité, définie par ) x ( x h   , a les propriétés suivantes:                R h h h Q dx ). x ( h x si 0 ) x ( 0 ) x ( (1.3) Le potentiel électrostatique créé en un point a de l'axe est donné par:      R h 0 h dx a x ) x ( 4 1 ) a ( V (1.4) Imaginons maintenant que cette charge constante soit concentrée à l'origine, i.e. que l'on fasse tendre h tend vers 0 . Si l'on admet qu'il existe une densité limite , celle-ci devra vérifier à la limite les trois conditions (1.2), i.e.                R Q dx ). x ( 0 x si 0 ) x ( 0 ) x ( (1.5) Ecole Polytechnique d’Antananarivo Distributions Auteur :Randimbindrainibe Falimanana 3 et le potentiel électrostatique crée en un point a de l'axe sera donné par :      R 0 dx a x ) x ( 4 1 ) a ( V (1.6) On peut convenir que, pour des raisons physiques, la valeur  soit infinie pour 0  x et donc conclure, d'après les propriétés de , que     Q . On aboutit naturellement au même paradoxe que précédemment, l'intégrale sur  d'une telle "fonction"  devant vérifier    R dx x 0 ). ( . Cependant si l'on pousse un peu plus loin le raisonnement, on voit que pour une fonction  (assez régulière), tendant vers 0 pour x tendant vers   , on obtient en intégrant par parties        R R dx ). x ( ). x ( . Q dx ). x ( ). x (            R x x dx ). x ( ). x ( Y . Q ) x ( ). x ( Y . Q   ) 0 ( . Q ) x ( . Q dx ). x ( Q x 0 x 0              En appliquant ce résultat à la relation (1.6) on obtient comme potentiel en un point a distinct de l'origine 0 4 Q ) a ( V   si 0 a  ce qui correspond bien à la réalité physique. 1.4. Conclusion. Le point essentiel dégagé par ce dernier exemple est que  n'est pas au sens mathématique du terme une fonction de la variable réelle x, mais qu'elle intervient dans des intégrales, associée à d'autres fonctions. On va donc être amené à définir, ce qu'on appelle, les distributions mathématiques non par leurs valeurs en un réel x, mais comme un procédé qui opère sur des fonctions (suffisamment régulières) appelées fonctions test. Mais avant de faire l'étude des distributions, rappelons les notions des espaces de fonctions. §2. Espaces des fonctions dérivables. 2.1. Espaces des fonctions de classe C k . Soit  k N et I un intervalle quelconque (borné ou non) de la droite réelle . L'ensemble de toutes les fonctions admettant dans I des dérivées continues jusqu'à l'ordre k inclus sera noté  I Ck , i.e.      k , , 1 , 0 n , I sur continue f ; C ou R I : f I C ) n ( k     (2.1) 2.2. Proposition 1 Ecole Polytechnique d’Antananarivo Distributions Auteur :Randimbindrainibe Falimanana 4 On suppose que I est un intervalle compact (borné et fermé) de ℝ.  I Ck est un espace vectoriel normé complet lorsqu'on le munit de l'une des normes suivantes 1)     k 0 n ) n ( 1 f f N (2.2) 2)       k 0 n 2 n 2 f f N (2.3) 3)       n k , , 0 n f max f N  , (2.4) où   ) x ( f max f n I x n   (2.5) 2.3. Remarque. Lorsque I n'est pas un intervalle borné, par exemple  I ℝ aucune de ces normes définies précédemment n'a de sens si  k f , , f , f   ne sont pas bornées. De même si I est borné mais ouvert (par exemple x 1 ) x ( f  sur [ 1 , 0 ] ). 2.4. Fonctions de classe C. On dit que f est indéfiniment dérivable ou bien de classe  C sur un intervalle I si  I C f k  pour tout  k ℕ* . On désignera par  I C l’ensemble de ces fonctions,    N k k I C I C    (2.6) 2.5. Support d'une fonction. Soit f une fonction définie sur ℝ. On appelle support de f et l'on note  f Supp la fermeture (ou l'adhérence) de l'ensemble des points x , en lesquels la fonction f est différente de 0 , i.e. le plus petit ensemble fermé en dehors duquel f est nulle. C’est le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel la fonction s’annule. On a donc:    0 ) x ( f / R x f Supp    (2.7) 2.6. Espace des fonctions à support borné. On note  I Ck c l'espace vectoriel des fonctions de  I Ck à support borné (donc compact) contenu dans l'intervalle I . Les éléments de  I Ck c sont uploads/Litterature/ distributions-cours-special-1ere-partie.pdf