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Chapitre 4 Phénomènes aléatoires et modèle probabi- liste Objectifs : Après avo

Chapitre 4 Phénomènes aléatoires et modèle probabi- liste Objectifs : Après avoir suivi ce cours, l’étudiant doit être capable de (d’) : • calculer des probabilités en utilisant les propriétés d’une probabilité ; • calculer des probabilités dans un cadre d’équiprobabilité. Sommaire 4.1 Notion d’expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Evénements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2.1 Notion d’événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2.2 Langage des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3.1 Déﬁnition de la probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4 Notion d’équiprobabilité ou de probabilité uniforme . . 34 4.1 Notion d’expérience aléatoire Les phénomènes dans lesquels apparaît l’eﬀet du hasard sont d’un grand intérêt dans plusieurs domaines. A titre d’exemples, on peut citer les jeux de hasard, les banques et la ﬁnance (arrivée des clients à un guichet, évaluation des capacités d’un individu pris au hasard à rembourser un crédit avant de le lui octroyer, gestion de portefeuille par les compagnies boursières), la biologie (où le hasard est omniprésent et considéré comme source de la diversité biologique des individus et de la varia- bilité des caractères), la médecine (où on évalue/compare les « chances » de succès de divers traitements ou encore où on étude la durée de survie des patients après un traitement donné), l’électronique et la ﬁabilité (étude de la durée de vie des composantes électroniques, évaluation de la probabilité qu’un dispositif ou système fonctionne à un instant donné ou pendant un temps donné), l’informatique (théorie des graphes, ﬁltrage de spams, théorie des ﬁles d’attente et des réseaux), l’assurance (évaluation des risques de sinistres, primes payées par les assurés), etc. . . 31 32 Chapitre 4. Phénomènes aléatoires et modèle probabiliste Le calcul de probabilités fournit un cadre théorique adéquat permettant d’étudier les caractéristiques d’une population à partir de celle d’un échantillon tiré aléatoi- rement. La probabilité joue donc un grand rôle dans les sondages de toute sorte, les études de marché, le contrôle qualité, etc... Déﬁnition 4.1 • Une expérience aléatoire est une expérience dont il est impossible de prévoir le résultat, c’est-à-dire, qui répétée dans des conditions identiques, peut donner des résultats diﬀérents. • L’ensemble des résultats possibles, souvent noté Ω, est appelé univers des possibles (ou tout simplement univers) ou encore espace fondamental. Exemple 4.1 Voici quelques exemples d’expériences aléatoires et les univers qu’on peut leur associer : Table 4.1 – Exemples d’expériences aléatoires et d’univers associés Expérience Univers des possibles Jet d’un dé à six faces Ω= {1, 2, 3, 4, 6} Jet de deux dés Ω= {1, 2, 3, 4, 6}2 = {(i, j) ∈N2 | 1 ⩽i, j ⩽ 6} Lancer d’une pièce Ω= {pile, face} Durée de fonctionnement d’un appareil Ω= R+ Bien que le résultat précis d’une expérience aléatoire soit imprévisible, l’obser- vation et l’intuition amènent à penser que ces phénomènes obéissent à certaines lois. La théorie des probabilités vise à fournir un modèle mathématique pour décrire ces phénomènes. Un modèle associé à une expérience aléatoire contient trois objets mathématiques essentiels : • l’espace fondamental Ω, • une classe A de sous-ensembles de Ωappelés événements, • une probabilité P sur l’espace (Ω, A), c’est-à-dire l’aﬀectation d’un poids à chaque événement traduisant la « chance » de réalisation dudit événement. 4.2 Evénements 4.2.1 Notion d’événement La théorie des probabilités utilise le langage des ensembles pour modéliser une expérience aléatoire. Dans toute la suite, nous considérerons une expérience aléatoire 4.2. Evénements 33 d’univers Ω. Déﬁnition 4.2 • Un événement A est une aﬃrmation dont on peut dire si elle est vraie ou non, une fois l’expérience accomplie. • Un événement A est aussi identiﬁé à l’ensemble, encore noté A, de tous les éléments de Ωpour lesquels ladite propriété est vraie. Si A est l’ensemble associé à un événement et si le résultat de l’expérience ω ∈A alors ledit événement est dit réalisé. Exemple 4.2 On jette un dé. Soit A l’événement « le résultat obtenu est pair ». L’univers des possibles est Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L’événement A correspond à l’en- semble A = {2, 4, 6}. Si l’expérience donne comme résultat 2 alors A est réalisé mais si le résultat est 5 alors A n’est pas réalisé. 4.2.2 Langage des événements Avec le mode de représentation mathématique des événements introduit ci-dessus, les opérations sur les événements se traduisent par des opérations ensemblistes. Le tableau 4.2 donne la correspondance entre les deux langages. Table 4.2 – Correspondance entre le langage des événements et celui des ensembles Vocabulaire probabiliste Vocabulaire ensembliste Notation Evénement certain Ensemble entier Ω Evénement impossible Ensemble vide ∅ Evénement élémentaire Singleton {ω} Evénement contraire de A Complémentaire de A A A et B Intersection de A et B A ∩B A ou B (ou non exclusif) Réunion de A et B A ∪B A et B sont incompatibles A et B sont disjoints A ∩B = ∅ Exemple 4.3 On reprend l’exemple du jet d’un dé à six faces numérotées de 1 à 6. 1) L’événement A : « Obtenir le chiﬀre 7 » est impossible. 2) L’événement B : « Obtenir un chiﬀre inférieur ou égal à 7 » est certain 3) Les événements C : « Obtenir un chiﬀre pair » et D : « Obtenir un chiﬀre impair » sont contraires et incompatibles. 34 Chapitre 4. Phénomènes aléatoires et modèle probabiliste 4.3 Espaces probabilisés 4.3.1 Déﬁnition de la probabilité Une déﬁnition rigoureuse de la probabilité nécessiterait la notion de tribu qui dépasse le cadre de ce cours. Soit Ωl’univers associé à une expérience aléatoire. Dans la suite du cours, nous poserons A = P(Ω). Le couple (Ω, A) est alors appelé espace probabilisable. Déﬁnition 4.3 (Probabilité) On appelle probabilité P sur un espace probabili- sable (Ω, A) une application déﬁnie de A dans [0, 1] telle que : 1) P(Ω) = 1 ; 2) pour toute suite (Ai)i∈N d’événements deux à deux incompatibles : P ∞ [ i=0 Ai = ∞ X i=0 P(Ai). (4.1) Le triplet (Ω, A, P) est appelé espace probabilisé ou espace de probabilité. Le nombre P(A) s’appelle la probabilité de l’événement A. 4.3.2 Propriétés élémentaires Théorème 4.1 Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé. 1) P(∅) = 0. 2) Pour tout A ∈A, on a : P(A) ∈[0, 1] et P(A) = 1 −P(A). 3) Pour deux événements A et B, P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(A ∩B). 4.4 Notion d’équiprobabilité ou de probabilité uniforme La théorie des probabilités ne dit pas quelle loi de probabilité mettre sur un ensemble Ωparmi toutes les nombreuses lois possibles. Nous présentons ici l’équi- probabilité ou probabilité uniforme mais il existe bien d’autres façons de déﬁnir une loi de probabilité, chacune ayant des avantages et des limites. Quelque soit la loi choisie, il faut garder à l’esprit qu’un modèle probabiliste n’est qu’une représenta- tion de la réalité et ses hypothèses doivent être mises à l’épreuve des faits. Lorsque Ωest ﬁni et si les conditions de l’expérience le permettent, on consi- dère a priori que les événements élémentaires ont la même probabilité : on parle d’équiprobabilité ou de probabilité uniforme. 4.4. Notion d’équiprobabilité ou de probabilité uniforme 35 Exemple 4.4 Si l’expérience aléatoire consiste à jeter un dé parfait (non truqué) à six faces numérotées de 1 à 6, on peut supposer que toutes les faces ont la même probabilité d’apparaître qui égale à 1/6. Dans ce cas, le calcul des probabilités n’est donc plus qu’une aﬀaire de dénom- brement, d’où la célèbre formule suivante. Proposition 4.1 Soient n ∈N∗, Ω= {ω1, . . . , ωn} un univers ﬁni et (Ω, A, P) un espace probabilisé. Si P représente l’équiprobabilité (ou probabilité uniforme) sur Ω, alors pour tout événement A ∈A, P(A) = Card(A) Card(Ω) = Nombre de cas favorables à A Nombre de cas possibles . (4.2) Exercice d’application 4.1 Dans une urne contenant dix boules indiscernables au toucher numérotées de 0 à 9, on tire successivement trois boules avec remise et on relève dans l’ordre les trois chiﬀres obtenus. Décrire l’univers Ωassocié à cette expérience et calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : 1) A : « Les trois chiﬀres obtenus sont identiques ». 2) B : « On n’obtient pas le chiﬀre 4 ». 3) C : « uploads/Litterature/ 4-modele-probabiliste.pdf