Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Cours d’analyse 1, semestre d’automne Hugo Duminil-Copin 18 septembre 2012 Tabl

Cours d’analyse 1, semestre d’automne Hugo Duminil-Copin 18 septembre 2012 Table des matières 1 Éléments de théorie des ensembles 5 1.1 Éléments de Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 La notion d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Logique élémentaire et principes de démonstration . . . . . . . . . 9 1.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Compositions des applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Injection-Surjection-Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 Applications croissantes, décroissantes et monotones . . . . . . . . 19 2 Entiers naturels et ensembles ﬁnis 20 2.1 Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Ensembles ﬁnis et notion de cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Analyse combinatoire sur les ensembles ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Ensembles inﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Les nombres rationels et réels 34 3.1 L’ensemble des nombres rationels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 L’ensemble R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Principe d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.3 Valeur absolue sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.4 Densité d’un ensemble dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.5 Résolution des équations du second degré sur R . . . . . . . . . . . 39 4 Les nombres complexes 42 4.1 Équations polynomiales d’une variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Conjuguaison et module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Applications exponentielle et trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.4 Argument d’un nombre complexe et représentation polaire . . . . . . . . . 52 5 Suites numériques 56 5.1 Suites convergentes dans K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.1.1 Déﬁnition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.1.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2 Suites à valeurs réelles et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2.1 Inégalité et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2.2 Suites monotones à valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3 Valeurs d’adhérence d’une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1 TABLE DES MATIÈRES 2 5.4 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.5 Suites à récurrence linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.6 Suites tendant vers l’inﬁni et formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . 72 6 Fonctions Continues 74 6.1 Continuité des fonctions de la variable réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.1.1 Déﬁnition de la continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.1.2 Maximum et minimum d’une fonction continue . . . . . . . . . . . 76 6.1.3 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.1.4 Théorème des valeurs intermédaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.1.5 Inverse d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.1.6 Prolongement de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2 Notions reliées à la notion de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2.1 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2.2 Continuité à droite et continuité à gauche (pour votre culture) . . 84 6.2.3 Fonctions à valeur dans Rn et Cn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7 Dérivation des fonctions sur R 90 7.1 Dérivée d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.1.2 Accroissements et dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.2 Dérivées Successives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ analyse-2012.pdf