Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Cours Concis de Mathématiques Ce travail est mis à disposition selon les termes

Cours Concis de Mathématiques Ce travail est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Paternité - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modiﬁca- tion 3.0 non transcrit. Pour plus d’information, voir http://creativecommons.org/licenses/by- nc-nd/3.0/ ou écrire à Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. Pierre Guillot IRMA 7 rue René Descartes 67084 Strasbourg guillot@math.unistra.fr Avant-propos – Deux ans ! dit Dantès, vous croyez que je pourrais apprendre toutes ces choses en deux ans ? – Dans leur application, non ; dans leurs prin- cipes, oui : apprendre n’est pas savoir ; il y a les sachants et les savants : c’est la mémoire qui fait les uns, c’est la philosophie qui fait les autres. [. . . ] Dantès avait une mémoire prodigieuse, une fa- cilité de conception extrême : la disposition mathématique de son esprit le rendait apte à tout comprendre par le calcul, tandis que la poésie du marin corrigeait tout ce que pouvait avoir de trop matériel la démonstration réduite à la sécheresse des chiﬀres ou à la rectitude des lignes. Alexandre Dumas, Le comte de Monte-Cristo Edmond Dantès, le héros du roman d’Alexandre Dumas, dispose de deux ans pour apprendre les mathématiques, la physique, l’histoire, et « trois ou quatre langues vivantes », à l’insu des gardiens de sa prison. Votre tâche est plus abordable : si en un an vous venez à bout du présent ouvrage, vous aurez couvert les programmes d’analyse et d’algèbre de première an- née post-baccalauréat. Certains étudiants se contenteront, selon leur ﬁlière, d’une sélection de quelques chapitres. Par exemple l’auteur a ensei- gné à des élèves chimistes, parcourant au premier semestre les chapitres 3, 4, 6, et le tout début des 8, 9 et 10, alors que le deuxième semestre, dédié à l’algèbre, s’est construit autour des chapitres 12, 13, 14, 15 et 16 (quelques morceaux choisis de la partie « Préliminaires » étant disséminés au fur et à mesure des besoins). À l’inverse, d’autres élèves amenés à étudier plus de mathématiques en première année, comme par exemple ceux en classes préparatoires, exploreront tous les chapitres et dé- tailleront même les encadrés « hors programme ». Les ensei- gnants inﬂéchiront, par le choix des exercices supplémentaires qu’ils voudront bien proposer, votre course à travers l’analyse et l’algèbre. Les encadrés Au gré du texte vous verrez quelques encadrés, ayant l’appa- rence de celui-ci. Ils contiennent des compléments qui sont clairement à considérer comme du « hors pro- gramme ». Leur lecture demande plus d’attention. Si un thème vous intéresse, vous êtes invité à faire quelques re- cherches, à commencer par Wikipe- dia et autres, puis à questionner vos enseignants. Le parti pris de ce cours L’idée de ce « cours concis » est de proposer, aux étudiants comme aux enseignants, un cours de mathématiques essentiel- lement identique à ce que l’auteur produirait au tableau. (On a bien sûr incorporé dans le texte les nombreuses remarques orales qui accompagneraient un tel cours.) Aﬁn de tendre vers cet objectif, on a déshabillé ce livre du caractère encyclopé- dique dont est empreinte la majorité des ouvrages de mathé- matiques à l’attention des élèves de première année. Vous pourrez d’ailleurs, si telle est votre préférence, faire une utilisation complémentaire de ce cours et d’un ou plu- sieurs ouvrages à vocation exhaustive. Les exercices Tout au long des chapitres, vous êtes invités à résoudre un certain nombre d’exercices. Toutefois, les énoncés de ceux-ci ne sont pas inclus dans le livre. Ils sont à retrouver sur le site In- ternet « exo7 », qui (au moment où cet avant-propos est rédigé, en mai 2013) se trouve à l’adresse suivante : http://exo7.emath.fr/search.php Vous y trouverez un très grand nombre d’exercices supplé- mentaires, dont une bonne partie comprend une correction, et parfois même une correction ﬁlmée. Sur la page personnelle de l’auteur, que vous trouverez aisément à l’aide d’un moteur de recherche, vous pourrez également télécharger les exercices au format PDF, ainsi qu’une version gratuite de ce livre. Dans le texte, les numéros des exercices sont donnés dans la marge. Ils peuvent être reportés directement dans le « cadre de saisie » d’exo7. Les notes dans la marge ont cet aspect. Précisons une chose. La sélection des exercices que nous avons opérée est orientée vers la compréhension des concepts les plus basiques ; à de très rares exceptions près, les problèmes à résoudre ne font pas appel à des astuces. Le but est de vous assurer de votre bonne progression dans le cours, avec ce ba- romètre simple : vous devez être capable de faire tous les exer- cices ou presque. Les exercices plus « astucieux », qui peuvent très bien être au goût de l’auteur par ailleurs, vous seront proposés par vos enseignants. Les deux lectures Un certains nombre de découpages ont été faits, dans le but de séparer les choses les plus faciles des choses les plus ardues. Les encadrés, on l’a dit, contiennent des informations oﬃciel- lement « hors programme ». Mais vous constaterez également que la plupart des chapitres se partagent entre une « première lecture » et une « deuxième lecture ». La deuxième lecture ren- ferme parfois les démonstrations de certains résultats annon- cés dans la première ; parfois on y aborde d’autres concepts plus avancés. Précisons qu’on attend d’un élève de première année en ﬁlière mathématique à l’université qu’il connaisse le contenu des « deuxièmes lectures » (et les enseignants en deuxième an- née supposeront que c’est le cas). À l’extrême inverse, nous recommandons aux étudiants « pressés » (pour désigner ainsi ceux qui entament le travail à quelques jours de l’examen) de commencer par les premières lectures de tous les chapitres (plutôt que de lire quelques chapitres en entier). Notons que l’on peut eﬀectivement se contenter de la pre- mière lecture et passer aux chapitres suivants. Il y aura très peu de références ultérieures aux théorèmes des deuxièmes lec- tures ; et même dans les rares cas où on le fait, on peut facile- ment remettre à plus tard la lecture détaillée du passage indi- qué. Ceci permet de naviguer un peu dans les chapitres, même si par nature les mathématiques, à l’heure où on les découvre pour la première fois, permettent peu d’exercer cette liberté. À savoir avant de commencer On vous a peut-être dit, ou vous vous êtes peut-être ima- giné, que les mathématiques à partir de l’université repartaient de zéro, et redéﬁnissaient tous les concepts utilisés. C’est à la fois vrai d’un point de vue strictement logique, et chargé d’une certaine hypocrisie. Il est indéniable qu’une exposition préalable à des ma- thématiques va s’avérer indispensable à la bonne compréhen- sion de ce qui suit. Pour prendre quelques exemples, nous ne prendrons pas le temps ici de forger l’intuition selon laquelle deux nombres réels repèrent un point dans le plan, pas plus que nous n’aurons le loisir de dessiner de nombreux vecteurs comme des ﬂèches et de les additionner en construisant des parallélogrammes. Nous mentionnerons ces choses, mais à un rythme qui n’est raisonnable que parce que l’on vous sait déjà à l’aise avec ces concepts. Une certaine familiarité avec le calcul est également atten- due. Pensez que nous allons déﬁnir le concept de dérivée, dont vous devez avoir une connaissance informelle depuis le lycée, et que nous allons enﬁn démontrer que les fonctions ayant une dérivée positive sont croissantes ; mais apprendre à calculer les dérivées est une gymnastique à laquelle on vous suppose un peu aguerris. Nous avons rassemblé dans un appendice, à la ﬁn de la par- tie « Préliminaires », une compilation des connaissances de Ter- minale qui vont être les plus utiles à la lecture du présent ma- nuel. Remerciements Ce livre a été principalement écrit en 2010-2011, à Vancou- ver, alors que l’auteur bénéﬁciait d’une délégation au CNRS sans laquelle il n’aurait pu venir à bout de ce projet. Depuis, de nombreux collègues ont apporté leurs remarques construc- tives, au premier rang desquels Vianney Combet, à qui je dois une relecture minutieuse et un nombre de corrections trop élevé pour être rendu public. Je l’en remercie vivement. J’ai été encouragé à ﬁnaliser ce cours, qui stagnait dans une version préliminaire, par l’enthousiasme des élèves de la pro- motion 2011-2012 de MPA à l’université de Strasbourg. Qu’il me soit donc permis de saluer Alexandre Amara, Vincent Beck, Yann Becker, Mike Beller, Arnaud Bonnet, Béatrice Chetard, Sophie Hurier, Guillaume Klein, Kévin Pfeiﬀer, Philippe Ricka, Claire Roman et Étienne Werly. Table des matières I Préliminaires 4 1 Ensembles 5 Première lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ensembles et appartenance . . . . . . . . . . . . . 6 Quelques constructions . . . . . . . . . . . . . . . 7 Propositions mathématiques . . . . . . . . . . . . 8 Fonctions . . . uploads/Litterature/ maths-l1 1 .pdf