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See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/332900362 Banque d'Épreuves des Concours des Écoles d'Actuariat et Statistique Épreuve de mathématiques Preprint · May 2019 DOI: 10.13140/RG.2.2.15581.05605 CITATIONS 0 READS 598 1 author: Some of the authors of this publication are also working on these related projects: LANDAU "S PROBLEM View project Sophie German conjecture View project Idriss Olivier Bado INEXA 39 PUBLICATIONS 0 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Idriss Olivier Bado on 07 May 2019. The user has requested enhancement of the downloaded file. BÉCÉAS 2018 Banque d’Épreuves des Concours des Écoles d’Actuariat et Statistique Session 2018 Épreuve de mathématiques Durée : 4h On note ⌊x⌋la partie entière d’un réel x. On rappelle qu’un nombre entier naturel, au moins égal à 2, est dit premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-même (donc 1 n’est pas premier). On note P = {2,3,5,7,11,...} l’ensemble des nombres premiers. On rappelle aussi que tout entier naturel n, au moins égal à 2, se décompose, de façon unique à l’ordre des facteurs près, comme produit de nombres premiers c’est-à-dire qu’il existe r ∈N∗, (p1,p2,...,pr ) ∈P r et (α1,α2,...,αr ) ∈(N∗)r tels que : n = r Y k=1 pαk k . Si a et b sont deux entiers naturels tels que a ⩽b, la notation X a⩽p⩽b p∈P αp désigne la somme des nombres αp pour tous les entiers premiers p de l’intervalle entier Ja,bK. On déﬁnit de la même façon X p⩽b p∈P αp, Y a⩽p⩽b p∈P αp, etc. Par exemple, X 4⩽p⩽10 p∈P αp = α5 +α7, ou Y p⩽8 p∈P αp = α2 ×α3 ×α5 ×α7. Mathématiques Mercredi 16 mai, matin Page 1/5 BÉCÉAS 2018 Partie I - Préliminaires On établit, dans cette partie, quelques résultats préliminaires, indépendants les uns des autres, qui seront utilisés par la suite. 1. Soit n0 ∈N∗et f une fonction continue, décroissante et positive de [n0,+∞[ dans R. On pose, pour tout entier naturel n non nul, Sn = n X k=n0 f (k). (a) Montrer que la suite ¡ γn ¢ n⩾n0 de terme général γn = Sn − Zn n0 f (t)dt est monotone et convergente. (b) En déduire, l’existence d’un réel, noté C, pour lesquels on a, lorsque l’entier n tend vers +∞: n X k=2 1 k lnk = lnlnn +C +o(1). (c) Établir la convergence de l’intégrale Z+∞ 2 1 t ln2 t dt et en déduire la convergence de la série X 1 k ln2 k · 2. Montrer que la série de terme général lnk k(k −1) est convergente. On note K = +∞ X k=2 lnk k(k −1) sa somme. 3. (a) Prouver, pour tout entier naturel n au moins égal à 2, l’inégalité : n X k=2 lnk ⩾n lnn −n +1. (b) En déduire, quand n tend vers +∞, l’estimation : lnn! = n lnn +O(n). 4. (a) Soit λ un réel strictement positif. Justiﬁer, pour tout n ∈N∗, l’existence et l’unicité d’un réel x > 0 tel que x lnx −λx = lnn. On note rn cet unique réel. (b) Montrer que lim n→+∞rn = +∞puis établir l’équivalence rn ∼lnn lnlnn · 5. On note, pour toute partie E de N∗et pour tout n ∈N∗, En l’ensemble des éléments de E inférieurs ou égaux à n, c’est-à-dire que En = E ∩J1,nK, et l’on pose, pour tout entier naturel n non nul, dn(E) = 1 n card ¡ En ¢ . Si la suite ¡ dn(E) ¢ n∈N∗converge, on note d(E) sa limite et on dit que la partie E de N∗ admet une densité égale à d(E). (a) Montrer que les ensembles suivants possèdent une densité dont on donnera la valeur : i. Une partie F ﬁnie de N∗. ii. L’ensemble a N∗:= {ka ; k ∈N∗} des multiples non nuls de l’entier a ∈N∗. Mathématiques Mercredi 16 mai, matin Page 2/5 BÉCÉAS 2018 iii. L’ensemble C := {k2 ; k ∈N∗} des entiers non nuls qui sont des carrés. (b) Soit E1, E2 deux parties disjointes de N∗possédant une densité. Les parties N∗\E1 et E1 ∪E2 possèdent-elles une densité? Et, si oui, que valent-elles? (c) L’application d est-elle une probabilité sur l’ensemble N∗muni de la tribu formée de toutes ses parties? 6. (a) Justiﬁer, pour tout entier naturel m non nul, l’inégalité : 2 Ã 2m +1 m ! ⩽22m+1. (b) Montrer que, pour tout entier naturel r non nul, l’entier Y r+1<p⩽2r+1 p∈P p divise l’en- tier Ã 2r +1 r ! (le produit s’effectuant donc sur tous les entiers premiers de Kr +1,2r +1K). (c) Établir, pour tout entier n au moins égal à 2, l’inégalité : Y p⩽n p∈P p ⩽4n (le produit s’effectuant donc sur tous les entiers premiers au plus égaux à n). On raisonnera par récurrence forte et, ayant supposé l’inégalité vraie jusqu’au rang n, on examinera, en particulier, le cas où n + 1 est un entier premier égal à 2r +1. On en déduit ainsi l’inégalité : X p⩽n p∈P lnp ⩽n ln4. 7. Soit n ∈N∗. On note, pour tout nombre premier p et tout entier r ∈N, r ⩾2, vp(r) l’exposant de p dans la décomposition en nombres premiers de r, et on pose vp(1) = 0. Par exemple, puisque 300 = 22 352, v2(300) = 2, v3(300) = 1, v5(300) = 2 et vp(300) = 0 si p ∉{2,3,5}. Soit p un nombre premier. On note, pour tout entier naturel k non nul, αk (resp. βk) le nombre d’entiers d ∈J1,nK tels que pk divise d (resp. tels que vp(d) = k). Bien sûr, dès que k est assez grand, αk = βk = 0. (a) Prouver, pour tout k ∈N∗, l’égalité : αk = j n pk k · (b) Justiﬁer l’égalité : vp(n!) = +∞ X k=1 kβk. (c) En déduire, en reliant βk aux αi, l’égalité : vp(n!) = +∞ X k=1 j n pk k · (d) En déduire l’encadrement : n p −1 ⩽vp(n!) ⩽ n p −1 (= n p + n p(p −1)). 8. Soit (an)n∈N∗et (εn)n∈N∗deux suites réelles. On note, pour tout n ∈N∗, An = n X k=1 ak. Prouver, pour tout entier n ⩾2, l’égalité n X k=1 εkak = n−1 X k=1 (εk −εk+1)Ak +εn An. Mathématiques Mercredi 16 mai, matin Page 3/5 BÉCÉAS 2018 9. Soit (aN)N∈N∗une suite positive de limite +∞et (bN)N∈N∗une suite bornée. Soit (XN)N∈N∗ une suite de variables aléatoires discrètes, toutes déﬁnies sur le même espace proba- bilisé (Ω,T ,P). On suppose que, pour tout N ∈N∗, E(XN) = aN +bN et, quand N tend vers +∞, Var(XN) = O(aN). (a) Justiﬁer, pour tout entier N assez grand, l’inclusion entre événements : h¯ ¯XN −E(XN) ¯ ¯ ⩽1 2 a2/3 N i ⊂ h¯ ¯XN −aN ¯ ¯ ⩽a2/3 N i . (b) En déduire que lim N→+∞P( ¯ ¯XN −aN ¯ ¯ > a2/3 N ) = 0. Partie II - Deux résultats asymptotiques 1. (a) Établir, pour tout entier naturel n non nul, l’égalité : lnn! = X p⩽n p∈P vp(n!)lnp. (b) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, l’encadrement : lnn! n −K ⩽ X p⩽n p∈P lnp p ⩽lnn! n +ln4 , où le réel K est déﬁni dans la question I -2). (c) Conclure, quand l’entier n tend vers +∞, à l’évaluation asymptotique X p⩽n p∈P lnp p = lnn +O(1). 2. On note χ l’application qui, à chaque entier k ∈N∗, associe 1 si k est premier (i.e. k ∈P ) et 0 sinon. (a) En posant, pour tout pour tout entier naturel k non nul, ak = χ(k) lnk k , Ak = k X i=1 ai, en utilisant I - 8), établir, pour tout n ⩾2, l’égalité : X p⩽n p∈P 1 p = n−1 X k=2 ln(1+1/k) lnk ln(k +1) Ak + An lnn · (b) Établir, quand l’entier k tend vers +∞, l’égalité : ln(1+1/k) lnk ln(k +1) Ak = 1 k lnk +O ¡ 1 k ln2 k ¢ . (c) En déduire, quand l’entier n tend vers +∞, l’égalité : X p⩽n p∈P 1 p = lnlnn +O(1). Mathématiques Mercredi 16 mai, matin Page 4/5 BÉCÉAS 2018 Partie III On note, pour tout entier naturel n non nul, ω(n) le nombre d’entiers premiers distincts qui divisent l’entier n. On a donc ω(25) = 1, ω(22.53) = 2, ω(2.52.115) = 3, etc. L’objet de la suite du problème est le contrôle asymptotique, en un certain sens, de la suite ¡ ω(n) ¢ n∈N∗. 1. (a) Soit n ∈N, n ⩾2, dont la décomposition en nombres premiers est n = r Y k=1 pαk k . On a donc ω(n) = r. Prouver l’inégalité : ω(n) = r ⩽lnn ln2 · (b) À l’aide de I -4) prouver la domination ω(n) = O ³ lnn lnlnn ´ · On observera que n ⩾2 r−1 Y k=1 (2k +1) puis on prouvera, pour un réel λ qu’on déter- minera, l’inégalité : lnn ⩾(r −1)ln(r −1)−λ(r uploads/Litterature/2018-sujets.pdf