Analyse Chapitre 3 : Théorème de Baire et de Banach Lucie Le Briquer 23 novembr

Analyse Chapitre 3 : Théorème de Baire et de Banach Lucie Le Briquer 23 novembre 2017 Un espace topologique est un espace de Baire si toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense. Définition 1 (espace de Baire) Tout espace métrique complet est de Baire. Théorème 1 Preuve. Soit (E, d) un espace métrique complet et (Un)n∈N une suite d’ouverts denses. Posons : U = \ n∈N Un U = E signifie que U rencontre tout ouvert : ∀V ouvert U ∩V ̸= ∅. • U0 est dense donc U0 ∩V ̸= ∅, ainsi ∃x0 ∈U0 ∩V . U0 ouvert et V ouvert, donc U0 ∩V ouvert. Ainsi, ∃r0 > 0 tel que B(x0, r0) ⊂U0 ∩V et donc ∃ρ0 > 0 tel que B(x0, ρ0) ⊂U0 ∩V . • U1 dense ainsi U1 ∩B(x0, ρ0) ̸= ∅⇒∃ρ1 > 0, ∃x1 ∈U1 ∩B(x0, ρ0) tel que B(x1, ρ1) ⊂ U1 ∩B(x0, ρ0). - ... Par récurrence on définit (xn)n∈N et (ρn)n∈N tel que : B(xn+1), ρn+1 ⊂B(xn, ρn) ∩Un+1 On peut de plus supposer que ρn ⩽2−n. Ainsi la suite (xn)n∈N est de Cauchy puis que pour p > n on a xn, xp ∈B(xn, ρn). Elle converge donc vers x. ∀N, ∀n ⩾N, xn ∈B(xN, ρN) donc x ∈B(xN, ρN) Valable ∀N ⇒x ∈UN ∀N et donc finalement x ∈U ∩V . Une réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide est d’intérieur vide. Corollaire 1 1 Preuve. Si F = S p Fp, alors F C = T p F C p est dense. Remarque. Cette forme est plus facile à utiliser. Un espace de Banach (qui n’est pas de dimension finie) n’admet pas de base dénombrable. Propriété 1 Preuve. Soit E un espace de Banach. Par l’absurde, supposons que (e0, ..., en, ...) est une base. On pose Fp = Vect(e0, ..., ep). Alors E = S p∈N Fp. Si tous les Fp étaient d’intérieur vide, par le corollaire on aurait E d’intérieur vide ce qui est absurde. Donc ∃p0 tel que ◦ c Fp ̸= ∅: ∃a, ∃r > 0 tel que : B(a, r) ⊂ ◦ d Fp0 ⊂Fp0 Alors B(0, r) ⊂Fp0 par linéarité. Alors λB(0, r) ⊂Fp0 ∀λ > 0. On obtient finalement E ⊂Fp0. Donc E = Fp0, ainsi E est de dimension finie. Soit E un espace de Banach et F un espace vectoriel normé. Soit (Tα)α∈A une famille d’applications linéaires continues, Tα ∈L(E, F), simplement bornées i.e. : ∀x ∈E, sup α∈A ∥Tαx∥F < +∞ Alors, sup α∈A ∥Tα∥L(E,F ) < +∞ Théorème 2 (de Banach-Steinhauss) Rappel. ∥T∥L(E,F ) = sup x̸=0 ∥Tx∥F ∥x∥E L(E, F) est de Banach si F est de Banach. Preuve. Soit p ∈N et Fp = {x ∈E ; ∀α ∈A, ∥Tαx∥F ⩽p} Fp est fermé car : Fp = \ α∈A ϕ−1 α |{z} continue ([0, p] |{z} fermé ) où ϕα est l’application continue ϕα(x) = ∥Tαx∥F . (Tα) simplement borné ⇒ ∀x ∈E, ∃p ∈N, x ∈Fp 2 Baire + E = [ Fp ⇒ ∃p0 ∈N | ∃a ∈E, ∃r > 0 tq B(a, r) ⊂Fp0 Soit x ∈E. ∥Tαx∥F = Tα Å2∥x∥ r Å r 2∥x∥x + a ã −2∥x∥ r a ã F ⩽2∥x∥ r Tα Å a + r 2∥x∥x ã + 2∥x∥ r ∥Tαa∥ Or a ∈B(a, r), a + r 2∥x∥E ∈B(a, r), donc : ∥Tαa∥F ⩽p0, Tα Å a + r 2∥x∥E x ã F ⩽p0 car B(a, r) ⊂Fp0. Donc : ∥Tαx∥F ⩽4 r p0∥x∥E ∀α ∈A, ∀x ∈E Ainsi, sup α∈A ∥Tα∥L(E,F ) < +∞ Soit E et F espaces de Banach et T : E →F linéaire et continue. Si T est bijective alors T −1 est continue. Théorème 3 (de l’application ouverte) Preuve. Montrons que ∃δ > 0 tel que : BF (0, δ) ⊂T(BE(0, 1)) ⇒ T −1(BF (0, δ)) ⊂T −1(T(BE(0, 1))) ⇒ T −1(BF (0, δ)) ⊂BE(0, 1) ⇒ ∥y∥F < δ ⇒∥T −1y∥E < 1 ⇒ ∥T −1y∥E ⩽2 δ ∥y∥F (en prenant ˜ y = δ 2∥y∥y) ⇒ T −1 ∈L(F, E) Supposons qu’il existe c > 0 tel que BF (0, c) ⊂T(BE(0, 1)). Alors : BF (0, c/2) ⊂T(BE(0, 1)) Lemme 1 3 Preuve. (du lemme) Soit y ∈BF (0, c). Montrons que y ∈T(BE(0, 2)). On a y ∈T(BE(0, 1)), donc ∃x0 ∈BE(0, 1) tel que ∥y −Tx0∥F < c 2. Donc 2(y −Tx0) ∈BF (0, c) ⊂T(BE(0, 1)). ⇒∃x1 ∈BE(0, 1) tel que ∥2(y −Tx0) −Tx1∥F < c 2 ⇒ y −T Å x0 + 1 2x1 ã F < c 4 Par récurrence on définit une suite (xn)n∈N, avec xn ∈BE(0, 1) telle que : y −T Å x0 + 1 2x1 + ... + 1 2n xn ã F < c 2n+1 La série P 2−nxn converge normalement donc converge car E est complet. Sa limite x appartient à BE(0, 2). De plus y = Tx par passage à la limite dans l’expression précédente. Donc BF (0, c) ⊂T(BE(0, 2)). Alors pour montrer qu’il existe δ > 0 tel que BF (0, δ) ⊂T(BE(0, 1)), il suffit de montrer que ∃c > 0 tel que : BF (0, c) ⊂T(BE(0, 1)) Introduisons Fp = T(BE(0, p)) alors F = S p∈N Fp. Baire ⇒∃p0 ∈N tel que ◦ d Fp0 ̸= ∅ ⇒∃a ∈F, ∃r > 0, B(a, r) ⊂Fp0 B(a, r) ⊂T(BE(0, p0)) = p0T(BE(0, 1)) En particulier, a ∈T(BE(0, p0)). Donc ∃xn ∈BE(0, p0) tels que a = lim Txn, alors −a = lim T(−xn) ⇒−a ∈T(BE(0, p0)). ⇒B(a, r) −a ⊂T(BE(0, 2p0)) ⇒B(0, r) ⊂T(BE(0, 2p0)) ⇒B Å 0, r 2p0 ã ⊂T(BE(0, 1)) Soit E, F des espaces de Banach et (Tn)n∈N une suite de L(E, F). Si (Tnx)n∈N converge pour tout x vers T(x), alors T ∈L(E, F). Corollaire 2 Preuve. x 7→T(x) linéaire ok. De plus, ∀x ∈E, supn∈N ∥Tnx∥F < +∞. Donc : sup N ∥Tn∥L(E,F ) < +∞ Donc ∃c > 0, ∀n ∈N, ∀x ∈E, ∥Tnx∥F ⩽c∥x∥E En passage à la limite : ∥Tx∥F ⩽c∥x∥E ∀x ∈E Donc T ∈L(E, F). 4 Contre-exemple. Soit T : f 7→f ′ de E →F avec E =  C1([0, 1]), ∥f∥∞= sup[0,1] |f(t)  et F =  C0([0, 1]), ∥.∥∞  . T est linéaire mais pas continue. Prendre ϕn = 1 √n sin(nx) − − − − − → n→+∞ 0 dans E mais ∥Tϕn∥F − − − − − → n→+∞+∞. Soit E un espace vectoriel muni de 2 normes ∥.∥1 et ∥.∥2 de Banach pour ces 2 normes. Si ∃c > 0, ∀x ∈E, ∥x∥1 ⩽c∥x∥2 (∗) alors : ∃c′ > 0 | ∀x ∈E, ∥x∥2 ⩽c′∥x∥1 (∗∗) Corollaire 3 (équivalence des normes) Preuve. Considérons : T : ß (E, ∥.∥2) − → (E, ∥.∥1) x 7− → x (∗) ⇒T continue. Théorème de l’application ouverte ⇒T −1 continue ⇒(∗∗). Exemple. Soit T : ß L1(T) − → c0(Z) f 7− → ( ˆ f(n))n∈Z On a vu T linéaire continue, injective. Supposons T surjective. Alors T −1 serait continue : ⇒ ∃c > 0 | ∥T −1u∥L1 ⩽c∥u∥l∞ Considérons uN = T(DN) où DN = PN k=−N eikx. On a : uN = (..., 0, ..., 0, 1, .., 1 | {z } de −N à N , 0, ..., 0, ...) car (uN)p = 1 2π R 2π 0 e−ipxDN(x)dx. Donc ∥uN∥l∞= 1. Or T −1(uN) = DN et ∥DN∥L1 DN(x) = N X k=−N eikx = sin N + 1 2
x
sin x 2
Alors : Z 2π 0 |DN(x)|dx ⩾ Z 2π 0 sin N + 1 2
x
x 2 ⩾2 Z (2N+1)π 0 | sin x| x dx − − − − − → N→+∞+∞ Donc T n’est pas surjective. 5 Soit E et F deux espaces de Banach et T : E − →F linéaire. Alors T est continue ⇔ G(T) = {(x, Tx) : x ∈E} est fermé dans E × F Théorème 4 (du graphe fermé) Preuve. 1. T continue ⇒G(T) fermé. Soit (xn, tn) ∈G(T), convergeant vers (x, y) Alors yn = Txn. xn − − − − − → n→+∞x et T continue ⇒ Txn − − − − − → n→+∞ Tx. Or yn = Txn converge vers y. Alors par unicité de la limite on a y = Tx, i.e. (x, y) ∈G(T). Donc G(T) est fermé. 2. G(T) fermé ⇒T continue. Introduisons N(x) = ∥x∥E + ∥Tx∥F (appelée norme du graphe). N(x + y) ⩽N(x) + N(y) N(λx) = |λN(x)| N(x) = 0 ⇒x = 0 Montrons que (E, N(.)) est de Banach. Soit (xn)n∈N de Cauchy. Alors (xn) est de Cauchy dans (E, ∥.∥E). Or (E, ∥.∥E) est complet donc ∃x ∈E, ∥xn −x∥E − − − − − → n→+∞0. De même ∃y ∈F tel que ∥Txn −y∥F − − − − − → n→+∞ 0. Or G(T) est fermé dans (E × F) donc y = Tx. Donc : N(xn −x) = ∥xn −x∥E + ∥Txn −y∥F − − − uploads/Litterature/ analyse-chapitre-3-theoreme-de-baire-et-de-banach-lucie-le-briquer-23-novembre-2017.pdf

Documents similaires

BIOGRAPHIE D'AUTEURS La pléiade Joachim Du Bellay Joachim Du Bellay, poète fran 0 0

 Réf. 8-MAIF-NP-X-17 – PAGE 1/7 UNIVERSITÉ LUMIÈRE LYON 2 UNIVERSITÉ DE LYON N 0 0

cette sourate. Moi je vais vous offrir la démarche suivante.Il faut d’abord éta 0 0

Analyse mathématique 1 Assoc. Prof. DI. Dr. Tech NKIEDIEL Alain AKWIR PhD in In 0 0

Méthodologie Jean Paschoud PONCTUATION Le point - Est un signe de clôture de ph 0 0

N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MA 0 0

N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MA 0 0

Algèbre 1 Semestre d’hiver 2012/2013 Université du Luxembourg Gabor Wiese et Ag 0 0

Mode d’emploi réalisé par l’association Defis74 Pour télécharger ce mode d’empl 0 0

UNC L Info 2020 Mathématiques pour l’Informatique 2 A. Giannakos Relations A : 0 0

• Détails
• Publié le Jul 25, 2022
• Catégorie Literature / Litté...
• Langue French
• Taille du fichier 0.2385MB