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(1), Bernard 3 Gostiaux m Cours de ..c mathématiques c (1) spéciales 1. Algèbre

(1), Bernard 3 Gostiaux m Cours de ..c mathématiques c (1) spéciales 1. Algèbre Cours de mathématiques spéciales Tome 1 Algèbre COLLECTION DIRIGÉE PAR PAUL DEHEUVELS COURS DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES TOME 1 Algèbre BERNARD GOSTIAUX PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE ISBN 2 13 045835 1 ISSN 0246-3822 Dépôt légal - i•• édition : 1993, août © Presses Universitaires de France, 1993 108, boulevard Saint-Germain, 75oo6 Paris Sommaire Préface...................................................... IX Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII Chapitre O. - Du langage mathématique ou des tauto- logies.................................................. 1 O. Au commencent était le verbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Axiomes, théorèmes, tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Substitutions, quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chapitre 1. - Les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. Parties d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Ensemble vide, à un, à deux éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Couples, fonctions (ou applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Vocabulaire sur les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5. Réunion, intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chapitre 2. - Relations, relations d'ordre, d'équivalence. Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1. Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. Relation d'équivalence sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . 28 3. Relation d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4. Morphismes, lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5. Un morceau de choix : Zorn<=:? choix<=:? Zermelo . . . . . . . 40 Chapitre 3. - Construction des entiers naturels. . . . . . . . . . 51 1. Nombres cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2. Opérations sur les cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3. Comparaison des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4. Cardinaux finis, ou entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5. Une infinité d'infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Exercices et solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 VI Algèbre Chapitre 4. - Groupes, construction de l. . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2. Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3. Demi-groupe, symétrisation d'un semi-groupe abélien . . 99 4. Construction de l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5. Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6. Groupe opérant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Exercices et solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Chapitre 5. - Anneaux, corps, construction de Q. . . . . . . . . 131 1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2. Morphismes d'anneaux, idéal, anneau quotient . . . . . . . . 134 3. Anneaux principaux, caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4. Corps des fractions d'un anneau intègre unitaire, construc- tion de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5. Idéaux premiers, idéaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Exercices et solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Chapitre 6. - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1. Définitions, exemples, premières propriétés . . . . . . . . . . . . 163 2. Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3. Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4. Espace vectoriel quotient, théorèmes d'isomorphisme . . . 179 5. Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ bernard-gostiaux-cours-de-mathematiques-speciales-tome-1-algebre.pdf