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SchoolMouv.fr Limites d'une suite : Fiche de cours - Mathématiques | SchoolMouv

SchoolMouv.fr Limites d'une suite : Fiche de cours - Mathématiques | SchoolMouv 1 sur 9 Accueil Tle S Mathématiques Limites d'une suite Fiche de cours Limites d'une suite Introduction : Étudier le comportement d’une suite conduit à déterminer la limite d’une suite lorsque tend vers l’in}ni, c’est-à-dire lorsque les termes de la suite deviennent de plus en plus grands. Nous verrons deux cas : celui où la limite de la suite est }nie et vaut une valeur que l’on notera « », et le cas où la limite est in}nie. La suite tendra alors vers + ou - l’in}ni. 1 Limite d’une suite a. Limite }nie On peut constater qu’à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle . Les termes de la suite s’accumulent autour d’une certaine valeur de cet intervalle. Ce phénomène traduit la notion de limite }nie. n l ]l −0, 1 ; l + 0, 1[ l SchoolMouv.fr Limites d'une suite : Fiche de cours - Mathématiques | SchoolMouv 2 sur 9 Dé}nition Limite }nie : Dire qu’un réel est limite d’une suite signi}e que tout intervalle ouvert de centre contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors On dit que est convergente de limite (ou que converge vers ). À retenir Limites de suites de références : b. Limite in}nie On constate cette fois-ci que tous les termes de la suite, à partir de l’indice , appartiennent à l’intervalle ouvert sur l’axe des ordonnées. Autrement dit, plus est grand, plus les termes arrivent à dépasser tout nombre . l (u ) n l u = n→+∞ lim n l u n l u n l = n→+∞ lim n 1 0 = n→+∞ lim n2 1 0 = n→+∞ lim n3 1 0 = n→+∞ lim n 1 0 N 1 ]A , +∞[ 1 n un A SchoolMouv.fr Limites d'une suite : Fiche de cours - Mathématiques | SchoolMouv 3 sur 9 Dé}nition Limite en : Dire qu’une suite a pour limite signi}e que tout intervalle ouvert de la forme contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit : On dit alors que est divergente ou que diverge vers . Dé}nition Limite en : Dire qu’une suite a pour limite signi}e que tout intervalle ouvert de la forme contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit : On dit alors que est divergente ou que diverge vers . +∞ (u ) n +∞ ]A; +∞[ u = n→+∞ lim n +∞ (u ) n (u ) n +∞ −∞ (u ) n −∞ ] −∞ ; A[ u = n→+∞ lim n −∞ (u ) n (u ) n −∞ SchoolMouv.fr Limites d'une suite : Fiche de cours - Mathématiques | SchoolMouv 4 sur 9 À retenir Limites de suites de références : Théorème La limite d’une suite, si elle existe, est unique. Attention Une suite n’a pas nécessairement de limite. C’est le cas pour les suites alternées, c’est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent. Exemple La suite dé}nie par alterne entre les valeurs et , tout dépend de la parité de l’entier . si est pair, sinon À ce niveau, on peut déterminer la limite d’une suite en utilisant la dé}nition de limite, mais il existe d’autres moyens plus ef}caces pour déterminer la limite éventuelle d’une suite, comme la comparaison de deux suites entre elles ou le théorème des gendarmes. c. Limite et comparaison Théorème Soient et deux suites. Si pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel : et alors et alors d. Le théorème des gendarmes n = n→+∞ lim +∞ n = n→+∞ lim 2 +∞ n = n→+∞ lim 3 +∞ = n→+∞ lim n +∞ (u ) n u = n (−1)n −1 1 n n u = n 1 u = n −1 Cette suite n’a donc pas de limite. (u ) n (v ) n n n 0 u ≤ n v n u = n→+∞ lim n +∞ v = n→+∞ lim n +∞ u ≤ n v n v = n→+∞ lim n −∞ u = n→+∞ lim n −∞ SchoolMouv.fr Limites d'une suite : Fiche de cours - Mathématiques | SchoolMouv 5 sur 9 Ce théorème permet de trouver la limite d’une suite dans le cas particulier où la suite est encadrée par deux autres suites. Théorème On considère trois suites , , et . Si pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel , et si les suites et convergent vers la même limite , alors la suite converge vers . Les suites , et avec sont représentées ci-dessous. Les suites et ( ) convergent vers le réel . On voit que c’est aussi le cas de la suite : Exemple Déterminer, si elle existe, la limite de la suite dé}nie par : pour tout . Pour utiliser le théorème des gendarmes, il faut encadrer la suite . Pour cela on doit écrire des inégalités. Pour tout , On ajoute à chaque membre : On divise tout par car : Ce qui équivaut à : Or donc (u ) n (v ) n (w ) n p v ≤ n u ≤ n w n (v ) n (w ) n l (u ) n l (u ) n (v ) n (w ) n v ≤ n u ≤ n w n (v ) n w n l (u ) n (u ) n u = n n n+(−1)n n ≥1 (u ) n n ≥1 −1 ≤(−1) ≤ n 1 n n −1 ≤n + (−1) ≤ n n + 1 n n > 0 ≤ n n−1 ≤ n n+(−1)n n n+1 1 − ≤ n 1 u ≤ n 1 + n 1 = n→+∞ lim n 1 0 1 − = n→+∞ lim ( n 1 ) 1 + = n→+∞ lim ( n 1 ) 1 Donc d’après le théorème des gendarmes u = n→+∞ lim n 1 SchoolMouv.fr Limites d'une suite : Fiche de cours - Mathématiques | SchoolMouv 6 sur 9 2 Opérations sur les limites Lorsque deux suites et ont des limites connues, on peut en général en déduire la limite : de la suite somme : la limite correspond à la somme des limites de et ; de la suite produit : la limite correspond au produit des limites de et ; et de la suite quotient : la limite correspond au quotient des limites de et . On retrouve ci-dessous les tableaux des règles opératoires. Une case contenant FI (forme indéterminée) correspond à un cas où il n’y a pas de règle générale. a. Somme de deux suites Exemple Déterminer la limite de La limite de est et la limite de 5 est 5. (u ) n (v ) n (u + n v ) n (u ) n (v ) n (u × n v ) n (u ) n (v ) n ( ) v n u n (u ) n (v ) n −n + 5 −n −∞ Donc, par addition des limites : −n + 5 = n→+∞ lim −∞ SchoolMouv.fr Limites d'une suite : Fiche de cours - Mathématiques | SchoolMouv 7 sur 9 b. Produit de deux suites Exemple Calculer la limite de On a et car c. Quotient de deux suites Exemple Calculer la limite de On a et d. Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessite une étude particulière. Pour les mémoriser, on les note « », « », « » et « », mais ces écritures ne doivent pas être utilisées dans une rédaction. Astuce Le principe est toujours le même pour « lever » une indétermination : u = n −n × ( + 5) n 1 −n = n→+∞ lim −∞ + 5 = n→+∞ lim n 1 5 = n→+∞ lim n 1 0 Donc par produit : −n × ( + 5) = n→+∞ lim n 1 −∞ u = n 3n+5 2 2 = n→+∞ lim 2 (3n + 5) = n→+∞ lim +∞ Donc par produit : = n→+∞ lim 3n+5 2 0 ∞−∞ 0 × ∞ ∞ ∞ 0 0 il faut changer l’écriture de la suite en factorisant pour la plupart du temps par le terme de plus haut degré. SchoolMouv.fr Limites d'une suite : Fiche de cours - Mathématiques | SchoolMouv 8 sur 9 Exemple On a et . Il s’agit donc d’une forme indéterminée . On factorise par le terme de plus haut degré, c’est-à-dire : On calcule les limites des termes : car Exemple On a et . Il s’agit d’une forme indéterminée . On factorise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré, c’est-à-dire : On calcule les limites du numérateur et du dénominateur : et car Astuce D’une manière générale, lorsque l’on veut déterminer la limite d’un polynôme ou d’un uploads/Litterature/ chap-1-limite.pdf