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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique UNIVERSITE M’HAMED BOUGUERRA, BOUMERDES FACULTE DES HYDROCARBURES ET DE LA CHIMIE Filière : 2ème année Licence Note de cours Module : Mathématiques 4 Réalisé. Par : Dr. K. Benalia E.mail :k.benalia@univ-boumerdes.dz I. Introduction à la statistique (notions de base) II. Séries statistiques à une variable. III. Séries statistiques à deux variables. IV. Introductions à la théorie des probabilités V. Variables aléatoires. Année universitaire 2020-2021 Ce fascicule est un support au cours Mathématique 4 (Probabilité et statistique) en deuxième année d’une Licence des Hydrocarbures et de la chimie. Il aborde : Introduction à la statistique (notions de base), Séries statistiques à une variable, Séries statistiques à deux variables, Introductions à la théorie des probabilités et Variables aléatoires. Les notions supposées connues correspondent au programme des cours de Mathématiques 1(les suites numérique, Analyse mathématique des fonctions réelles d’une variable réelle et Algèbre Linéaire) et mathématique 2 (les matrices et applications,….) de la première année de Licence. L’objet de ce aide-mémoire est de proposer une explication succincte des concepts vu en cours. De nombreux livres, parfois très fournis, existent. Ici on a cherché, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants à la première année et des exigences pour la suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail personnel de l’étudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Ce polycopiée ne dispense pas des séances de cours et de TD ni de prendre des notes complémentaires. Il est d’ailleurs important de comprendre et apprendre le cours au fur et à mesure. Ce polycopié est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications données oralement. Sommaire i 1 CHAPITRE I Introduction Générale à la statistiques et problématique Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021  Pourquoi un cours de mathématique 4 et à quoi cela sert-il ?  Vocabulaire de la statistique descriptive  Présentation des données statistiques : tableaux et graphiques Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 Dr.Benalia Page 3 I.1. Introduction et problématique  Pourquoi un cours de mathématique 4 et à quoi cela sert-il ? Chaque problème qu’un être humain rencontre ne peut être suffisamment simple pour être compris sans avoir recours à un concept, idée ou notion. L’idée consiste à remplacer le phénomène qu’on étudie par un modèle de structure semblable, mais un peu moins complexe. Par conséquent les modèles sont une nécessité fondamentale de la démarche scientifique. Cependant dans la pratique trouvée un modèle mathématique qui convienne à un problème donné n’est pas une tâche des plus faciles. L’idéal est de pouvoir prendre en charge les contraintes de problème réel et pouvoir les exprimer sous forme mathématique d’une manière adéquate et simple. Dans la suite de notre travail on s'intéresse à des modèles sous forme des tableaux des données quantitatives (Statistique quantitative)  Problème posé : La démarche à suivre pour résoudre un problème concret peut être organisé comme suite (Figure I.1.). Figure I.1. Démarche à suivre pour résoudre un problème. D’après l’organigramme ci-dessus, on constate que les mathématique 4 (statistique plus particulièrement) représente un ensemble des techniques mathématique utilisés pour résoudre des problèmes modélisés sous forme des tableaux des données ( généralement quantitatives). I.2. Notions fondamentaux sur les statistiques descriptives Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 Dr.Benalia Page 4 I.2.1. Définition « Statistiques descriptives » La statistique descriptive est un ensemble de méthodes (représentations graphiques et calculs de caractéristiques numériques) permettant de faire une synthèse statistique de données. Les données à examiner proviennent généralement d’un échantillon. Exemples d’illustration (objectif de modéliser sous forme d’un tableau statistique) : Problème 1: L’entreprise Cevital a reçu d’un fournisseur 2000 feuilles d’acier de longueur 5 m. Celle-ci doivent être découpées en feuilles de 2 m et 1.5 m désignées respectivement par A et B. Avec ces dernières feuilles on fabrique un produit dénoté par P. chaque produit P a besoin de 3 feuilles de A et 2 feuilles de B. 1-Etablir un tableau statistique découpage optimal afin de maximiser la production, ensuite préciser la nature de ce modèle. 2-Représenter graphiquement le problème posé. Quel est le type de ce graphe (justifier). 1-Etablir un tableau statistique découpage optimal afin de maximiser la production, ensuite préciser la nature de ce modèle.  Solution : Le problème posé ci-dessus pet être modélisé sous forme d’un tableau de découpage afin de maximiser la production qui revient à minimiser les chutes de découpage : La nature de ce modèle : est un tableau statistique des données. Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 Dr.Benalia Page 5 I.2.2. Vocabulaire de la statistique descriptive On divise généralement l'étude de la statistique générale en deux parties : 1-Population : La population désigne un ensemble d’unités statistiques. Les unités statistiques, aussi appelées individus, sont les entités abstraites qui représentent des personnes, des animaux ou des objets. La statistique sert à décrire l’ensemble des unités statistiques qui composent la population. 2-Echantillon : Lorsque la population est trop importante, on étudie un échantillon, c’est-à- dire un sous-ensemble, beaucoup plus petit, de la population. L’échantillon doit être bien choisi pour pouvoir représenter la population. 3-Variables ou caractères statistiques : Un individu donné de la population peut être étudié selon certaines propriétés. Ces propriétés sont appelées caractères ou variables statistiques. Exemple : Une étude sur les étudiants de l’université Stendhal peut porter sur les différentes variables : leur âge, leur sexe, leur nationalité, leur moyenne de l’année, etc. 3-1. Variables quantitatives : Une surface, un revenu moyen ou un âge sont des variables quantitatives. Elles peuvent être exprimées selon une unité de mesure et « peuvent être comparées entre elles, additionnées, faire l’objet de calculs de moyenne, [...] etc. a) Variables discrètes et continues : Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 Dr.Benalia Page 6 Sur un intervalle donné, les valeurs que peut prendre une variable quantitative discrète sont dénombrables (ex : nombre d’enfants d’un ménage). Au contraire, une variable quantitative continue peut prendre toutes les valeurs à l’intérieur d’un intervalle (ex : taille). En effet, entre une personne mesurant 160cm et 161cm, on peut imaginer une infinité de valeurs (ce qui n’existe pas entre 1 et 2 enfants par exemple). Ce sont la précision des instruments de mesure et les conventions qui font que la taille est traitée comme une variable discrète. b) Classes Pour pouvoir décrire des variables continues, il est parfois nécessaire de les « discrétiser », c’est à dire les répartir en classes : des intervalles de valeurs successifs. Les classes peuvent être définies en fonction du nombre de classe que l’on veut obtenir ou selon une amplitude fixe. L’amplitude d’une classe est alors la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure de l’intervalle défini : soit [a; b[ une classe d’une variable quantitative, on dit que b − a est l’amplitude de cette classe. Exemple : La taille d’un échantillon d’étudiants en CP peut être classée en moins d’un mètre, [1; 1.20] mètre, plus de 1.20 mètre. L’amplitude de la seconde classe est 20 cm. 3-.2 Variables qualitatives Une variable qualitative est une variable qui ne prend pas de valeur numérique (elles ne répondent pas à une question « combien » mais à une question « est-ce que »). Exemple : sexe, nationalité. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I.3. Présentation des données statistiques : tableaux et graphiques I.3.1. Introduction Les tableaux sont un moyen souvent indispensable, en tous cas très utile, de classification et de présentation des unités d’une population statistique. Cette section évoque les différents modes de présentation d’un tableau statistique, de la série brute jusqu’au tableau croisé multidimensionnel. Séries brutes ou vecteurs ! Avant même d’être présentées sous forme de tableau, les données sont parfois présentées sous forme de séries brutes ou de vecteurs. I.3.2. Tableaux unidimensionnels La présentation sous forme de série est utile pour certains calculs, mais on utilise bien plus fréquemment les tableaux pour présenter les caractéristiques des unités d’une population Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 Dr.Benalia Page 7 statistique. Le tableau ci-après, en revanche, est un tableau qui présente les 35 unités statistiques sous forme d’un regroupement par classes. Les chiffres sont cependant « bruts » car aucun calcul de pourcentages et/ou de cumuls n’a été effectué sur les 35 unités statistiques. Partant du tableau des superficies regroupées, ajoutons une colonne dans laquelle les chiffres bruts sont présentées en pourcentages comme ci-dessous : I.3.4. Tableaux croisés à deux dimensions A – Définition et exemple Définition Les tableaux croisés sont appelés ainsi car ils « croisent » deux distributions au sein d’un même tableau. Exemple : Dans le tableau croisé ci-après nous allons illustrer le cas (croisement de deux variables regroupées par catégories de valeurs). Tableau croisé « indice de fécondité/âge médian » - Effectifs Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 Dr.Benalia Page 8 I.3.3. Représentations uploads/Litterature/ chapitre-i-proba-stat.pdf