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Universit´ e Claude Bernard Lyon 1 Licence “Sciences et technologie” Unit´ e d’

Universit´ e Claude Bernard Lyon 1 Licence “Sciences et technologie” Unit´ e d’enseignement “Math´ ematiques I (Alg` ebre)” (groupe 1) Examen terminal (deuxi` eme session) vendredi 19 janvier 2007 - Dur´ ee : 1 heure et 30 minutes Les exercices ci-dessous sont ind´ ependants et peuvent ˆ etre trait´ es dans l’ordre de votre choix. L’utilisation de documents de toute nature et de calculettes n’est pas autoris´ ee. Le sujet est imprim´ e sur une seule page. Exercice 1 On consid` ere le groupe multiplicatif ((Z/11Z)∗, ×). 1) Rappeler le th´ eor` eme qui permet d’aﬃrmer que ((Z/11Z)∗, ×) est bien un groupe. 2) Quel est l’inverse de la classe de 5 dans (Z/11Z)∗? 3) Montrer que pour tout ´ el´ ement x de (Z/11Z)∗, on a x9 = x−1, o` u x−1 d´ esigne l’inverse de x. 4) En d´ eduire l’ensemble des solutions dans Z/11Z de l’´ equation x9 + 5 = 0. Exercice 2 1) Montrer que les entiers 28 et 15 sont premiers entre eux. 2) R´ esoudre dans Z2 l’´ equation 28x + 15y = 0. 3) Donner une solution de l’´ equation 28x + 15y = 1. 4) R´ esoudre dans Z2 l’´ equation 28x + 15y = 1. Exercice 3 Dans R3 on consid` ere les ensembles : E1 = {(x, y, z) ∈R3 | x + 2y −z = 0} et E2 = {(x, y, z) ∈R3 | 3x −y −2z = 0}. 1) Montrer que E1 est un sous-espace vectoriel de R3. On admettra sans en dire davantage que E2 est ´ egalement un sous-espace vectoriel de R3. 2) a) Fournir un vecteur de R3 qui n’est pas ´ el´ ement de E1. b) Justiﬁer pourquoi la famille ((1, 0, 1), (−2, 1, 0)) est une famille libre form´ ee de vecteurs de E1. c) D´ eduire des deux questions qui pr´ ec` edent la dimension de E1 puis que la famille ((1, 0, 1), (−2, 1, 0)) est une base de ce sous-espace. 3) D´ eterminer une base de E1 ∩E2. 4) D´ eterminer le sous-espace E1 + (E1 ∩E2) . 5) Expliciter un sous-espace F ⊂R3 de dimension 1 et tel que F + E1 = R3. uploads/Litterature/ controle-continu-final-automne-2007-math-i-algebre-session-2-pdf.pdf