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Université Claude Bernard Mathématiques L3 Calcul intégral Correction de l'exer

Université Claude Bernard Mathématiques L3 Calcul intégral Correction de l'exercice 11 feuille 4 1. Oui, f est mesurable car c'est la limite d'une suite de fonctions mesurables. 2. On a Ek n = ∩p⩾n(fp−f)−1([−1 k, 1 k]). Comme [−1 k, 1 k] est borélien (car fermé) et fp−f est mesurable, l'ensemble (fp −f)−1([−1/k, 1/k]) est dans T , et donc Ek n aussi car la tribu T est stable par intersection dénombrable. Comme [ [n+1, +∞[ [⊂[ [n, +∞[ [, on a Ek n+1 ⊃Ek n (l'intersection pour Ek n+1 est prise sur un ensemble d'indices plus petit, donc le résultat est plus gros). On a [− 1 k+1, 1 k+1] ⊂[−1 k, 1 k], et on en déduit facilement que Ek+1 n ⊂Ek n. 3. Soit k ∈N∗. Si x ∈X, la suite (fn(x)) converge vers f(x). En appliquant la dé nition de la limite, on obtient l'existence d'un entier n tel que pour p ⩾n, on a |fp(x) −f(x)| ⩽1/k. Ainsi x ∈Ek n, ce qui montre que X = S n Ek n. Comme la suite (Ek n)n est croissante, on en déduit que µ(X) = limn→∞µ(Ek n). Soit η > 0, il existe alors un entier nk tel que µ(Ek nk) ⩾µ(X)−η, ce qui implique µ(X \Ek nk) ⩽η. Cette dernière opération est licite car on a supposé que µ(X) < +∞. Pour obtenir le résultat demandé par l'énoncé, on applique ceci avec η = ε/2k. 4. Soit A = S k∈N∗X \ Ek nk, où nk est dé ni à la question précédente. On a µ(A) ⩽ X k∈N∗ µ(X \ Ek nk) ⩽ X k∈N∗ ε 2k = ε. De plus X \ A = T k∈N∗Ek nk, donc si x ∈X \ A, on a ∀k ∈N∗, ∀p ⩾nk, |fp(x) −f(x)| ⩽1 k . Et donc ∀k ∈N∗, ∀p ⩾nk, sup x∈X\A |fp(x) −f(x)| ⩽1 k . Ceci montre que la suite de fonctions (fn) converge vers f uniformément sur A. uploads/Litterature/ corrige 13 .pdf