1 Notes de cours sur la Mécanique quantique Université Joseph Fourier, Grenoble

1 Notes de cours sur la Mécanique quantique Université Joseph Fourier, Grenoble ; Master Physique M1 (version : 1 octobre 2014) Frédéric Faure http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure 2 Table des matières 0.0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0.1 Rappels de mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I Les fondements 17 1 Une particule quantique sans spin, à 1 dimension (I) 19 1.1 Espace des états : les fonctions d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.1 Espace vectoriel des fonctions d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.2 Exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.3 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1.4 Vecteur dual, espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2 Opérateurs diérentiels ˆ x, ˆ p, ˆ H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.1 Dé nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.2 Opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2.3 Opérateurs adjoints et autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 Évolution d'un état quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.1 L'équation d'évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.2 Exemples d'évolutions d'ondes (images et lms) . . . . . . . . . . . 31 1.4 Bases, et changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.4.1 Base orthonormée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.4.2 Relation de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4.3 Expression d'un opérateur dans une base . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4.4 Changement de base (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5 Spectre d'opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5.1 Dé nition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5.2 Spectre de l'opérateur ˆ x, base de position . . . . . . . . . . . . . . 48 1.5.3 Spectre de l'opérateur ˆ p, base d'impulsion . . . . . . . . . . . . . 51 1.5.4 Spectre de l'opérateur ˆ H, base des états stationnaires . . . . . . . . 53 1.6 Spectre d'opérateur et résultat d'une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.6.1 Opération idéale de mesure d'un système quantique . . . . . . . . 57 1.6.2 Sur la di culté d'interpréter la mécanique quantique . . . . . . . . 64 1.6.3 Valeurs moyenne et variance de l'observable . . . . . . . . . . . . . 66 1.6.4 Relation d'incertitude et relations de commutation . . . . . . . . . 70 3 4 TABLE DES MATIÈRES 1.7 Résumé du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.7.1 Fonction d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.7.2 Evolution d'un état quantique ψt (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.7.3 Signi cation probabiliste de la fonction d'onde ψ (x) . . . . . . . . . 79 1.8 Conseils de Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2 Une particule quantique sans spin à 1 dimension (II) 87 2.1 Interprétation des opérateurs ˆ x, ˆ p, ˆ H comme générateurs . . . . . . . . . . 87 2.1.1 ˆ H génère les translations dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.1.2 Groupe des translations des états quantiques en espace . . . . . . . 92 2.1.3 Groupe des translations en impulsion (*) . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.1.4 Générateurs en mécanique classique (*) . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.1.5 Représentation de Heisenberg (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.2 Le potentiel harmonique ; Spectre de ˆ H et évolution . . . . . . . . . . . . . 98 2.2.1 Importance du potentiel Harmonique en physique . . . . . . . . . . 98 2.2.2 Résolution algébrique du spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.2.3 Application : Modèle d'Einstein (1907) sur la capacité calori que des matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.2.4 Application : les modes quantiques du champ électromagnétique dans le vide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.2.5 Un eet surprenant du vide quantique de photons : la force de Casimir (1948) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.2.6 (*) Les états cohérents et leur évolution par l'oscillateur harmonique 120 2.3 Correspondances classique-quantique à l'aide du paquet d'onde Gaussien . 130 2.3.1 Comptage semi-classique du nombre d'états. La loi de Weyl. . . . . 130 2.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2.3.3 (*) Règle de quanti cation semi-classique de Bohr-Smmerfeld . . . . 136 2.3.4 (*) Représentation quantique dans l'espace de phase . . . . . . . . . 139 2.4 Conseils de Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3 Une particule à 3 dimensions sans spin 145 3.1 Une particule à 3 dimensions sans spin . . . . . . . . uploads/Litterature/ cours 1 .pdf

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