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Electronique B8 – Notes de cours Gérard Hincelin leçon n° 11 1 GUIDES MICRO-OND

Electronique B8 – Notes de cours Gérard Hincelin leçon n° 11 1 GUIDES MICRO-ONDES III.................................................................................................. 2 IV. GUIDE CYLINDRIQUE............................................................................................................ 2 IV.1 – Propriétés générales.............................................................................................................. 2 IV.2 – Equation d’onde en coordonnées cylindriques..................................................................... 2 IV.3 – Les modes TM...................................................................................................................... 4 IV.4 – Composantes transversales des champs ............................................................................... 5 IV.5 – Les modes TE....................................................................................................................... 6 V. GUIDE COAXIAL – MODE TEM............................................................................................. 7 Electronique B8 – Notes de cours Gérard Hincelin leçon n° 11 2 GUIDES MICRO-ONDES III IV. GUIDE CYLINDRIQUE IV.1 – Propriétés générales Les propriétés du guide cylindrique sont très voisines de celles du guide rectangulaire : on y retrouve des modes TEmn et TMnm qui présentent des fréquences de coupure et des caractéristiques de propagation similaires. En particulier, il n’existe pas de mode TEM. La méthode d’analyse est la même que dans le cas du guide rectangulaire, mais nécessite l’utilisation de coordonnées cylindriques , , r z φ , rappelées ci- contre. Par convention, l’indice m se rapporte à la coordonnée radiale et l’indice n à la coordonnée angulaire. Le guide cylindrique est moins utilisé que la guide rectangulaire, car il ne présente pas de direction de polarisation privilégiée, comme dans le cas du guide rectangulaire, où le mode dominant TE10 présente une polarisation Ey parallèle au petit coté. En contrepartie, la symétrie cylindrique permet la propagation de deux modes identiques, mais de polarisations orthogonales (ce que l’on retrouve également dans les fibres optiques). Les modes sont alors dits « dégénérés ». cette propriété permet de guider une onde de polarisation circulaire ou elliptique. IV.2 – Equation d’onde en coordonnées cylindriques En suivant la même méthode qu’au paragraphe précédent, nous commencerons par chercher une solution de l’équation de propagation pour la composante longitudinale du champ, soit : • La composante Ez, pour les modes TM • La composante Hz, pour les modes TE En désignant par f, l’une des composantes longitudinales Ez ou Hz, l’équation de propagation s’écrit : 2 2 0 0 f f ω εµ ∇ + = (8.1) Le laplacien a une expression plus compliquée en coordonnées cylindriques qu’en coordonnées rectangulaires, le calcul (que nous ne ferons pas) donne : 2 2 2 2 2 2 1 ( , ) 1 ( , ) ( , ) f r f r f r f r r r r r z φ φ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂   ∇ = + +   ∂ ∂ ∂ ∂   (8.2) L’équation d’onde s’écrit, compte tenu du terme de propagation en exp(-jβz) : x y z r φ a Electronique B8 – Notes de cours Gérard Hincelin leçon n° 11 3 2 2 2 2 2 1 ( , ) 1 ( , ) ( ) ( , ) 0 r f r f r r f r r r r r c φ φ ω ε β φ φ ∂ ∂ ∂     + + − =     ∂ ∂ ∂     (8.3) Nous poserons, comme d’habitude : 2 2 2 ( ) r c ω κ ε β = − (8.4) La méthode de séparation des variables conduit à rechercher, en coordonnées cylindriques, une solution de la forme : ( , ) ( ) ( ) f r R r φ φ = Φ (8.5) R(r) n’est fonction que de la coordonnée radiale r et Φ(φ) n’est fonction que la coordonnée azimutale φ. En reportant cette expression dans la relation (8.3) on obtient aisément : 2 2 2 2 1 0 r R r r R r r κ φ  ∂ ∂  ∂Φ  + + =     ∂ ∂ Φ ∂     (8.6) Le premier terme entre crochet n’est fonction que de r, alors que le second n’est fonction que de φ. La somme ne peut être identiquement nulle que si chaque fonction est égale à une constante. Fonction angulaire : La fonction Φ doit être périodique, car les champs doivent retrouver la même valeur pour φ et pour φ + 2π. Nous obtiendrons une solution périodique en posant : 2 2 2 1 ν φ ∂Φ = − Φ ∂ (8.7) et par conséquent : 2 2 2 r R r r R r r κ ν ∂ ∂  + =   ∂ ∂   (8.8) La solution générale de l’équation (8.7) s’écrit : cos( ) sin( ) C D νφ νφ Φ = + (8.9) Φ doit satisfaire à la condition : (0) (2 ) cos(2 ) sin(2 ) C C D π πν πν Φ = Φ ⇒ = + (8.10) Cette condition est satisfaite si ν est un entier de valeur ν = n = 0, 1, 2, 3 … Fonction radiale : La relation (8.8), avec n entier est de la forme : 2 2 2 ( ) 0 R r r r n R r r κ ∂ ∂  + − =   ∂ ∂   (8.11) C’est une équation différentielle du second ordre, dont la solution s’exprime à l’aide des fonctions de Bessel (astronome allemand 1784 - 1846). O vérifiera, à titre d’exercice, qu’en effectuant le changement de variable x r κ = , la relation (8.11) peut se mettre sous la forme canonique : 2 2 ( ) 0 y x x x n y x x ∂ ∂  + − =   ∂ ∂   (8.12) La solution générale de cette équation, pour n entier, s’écrit : ( ) ( ) n n y AJ x BN x = + (8.13) • Jn(x) est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre n (n = 0, 1, 2, …) • Nn(x) est la fonction de Bessel de deuxième espèce d’ordre n (ou fonction de Neuman). Electronique B8 – Notes de cours Gérard Hincelin leçon n° 11 4 Les fonctions de Bessel sont l’équivalent cylindrique des fonctions trigonométriques classiques en coordonnées rectangulaires. Leurs valeurs peuvent être trouvées dans tous les logiciels scientifiques. On a représenté sur la figure ci-dessous les variations de Jn(x) (n = 0 à 3) en fonction de x, au voisinage de l’origine : Ces fonctions sont oscillatoires et gardent une valeur finie au voisinage de x = 0 (c’est à dire au centre du guide) pour toutes les valeurs de n. Par contre, elles ne sont pas périodiques, comme les fonctions trigonométriques (les zéro, ou racines de la fonction, désignées par tnm sur la figure, ne sont pas régulièrement espacés). Les fonctions Nn(x), à l’inverse, tendent vers l’infini au voisinage de l’origine. Le champ ne pouvant pas diverger au centre du guide, nous poserons donc B = 0. La composante longitudinale du champ s’écrit finalement : [ ] ( , ) ( ) cos( ) sin( ) n f r AJ r C n D n φ κ φ φ = + (8.14) Les deux termes entre crochets (en sin(nφ) et cos(nφ)) représentent en fait une même configuration des champs, mais décalée angulairement de π/2n. Cette indétermination provient du choix arbitraire de l’orientation de l’axe Ox. Nous ne retiendrons que la solution en cosinus qui ne s’annule pas pour n = 0. La solution générale de la composante longitudinale du champ est donc : ( , ) ( )cos( ) n f r ACJ r n φ κ φ = (8.15) • La variation radiale est une fonction de Bessel de première espèce. • La variation angulaire est une fonction trigonométrique. IV.3 – Les modes TM La composante axiale du champ électrique Ez des modes TM est donnée par : 0 ( , ) ( )cos( ) z n E r E J r n φ κ φ = (8.16) Eo étant l’amplitude du champ. La composante Ez étant tangente aux cylindre conducteur, les conditions aux limites imposent que ce champ soit nul en r = a. Jn(x) Electronique B8 – Notes de cours Gérard Hincelin leçon n° 11 5 Connaissant les valeurs tnm des différentes racines (m = 1, 2, 3,…) de la fonction Jn(x), (n = 0, 1, 2,…), indiquées sur la figure ci-dessus, nous pouvons en déduire (avec x = κr) : ( ) 0 n nm nm J a a t κ κ = ⇒ = (8.17) La composante Ez du mode TMnm s’écrit donc : , 0 ( , ) ( )cos( ) nm z nm n t E r E J r n a φ φ = (8.18) Coupure des modes : Reportons la valeur de κnm dans la relation de dispersion (8.4), pour obtenir la constante de propagation βnm : ( ) ( ) 2 2 nm r nm c t a β ω ε = − (8.19) La pulsation de coupure, qui correspond à β = 0, vaut : , c nm nm nm r r t c a ω κ ε ε = = (8.20) Et la fréquence de coupure νc : , , 2 2 c nm nm c nm r ct a ω uploads/Litterature/ cours-11.pdf