Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE D’UNE SUITE 1 GÉNÉRALITÉS SU

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE D’UNE SUITE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES RÉELLES Définition (Suite réelle) On appelle suite (réelle) toute fonction u de N dans R. Pour tout n ∈N, on préfère noter un le réel u(n), et (un)n∈N ou (un)n⩾0 la suite u.  Explication  • On travaillera seulement dans ce chapitre avec des suites définies sur tout N, mais on pourrait bien sûr travailer avec des suites définies sur des ensembles de la forme ⟦n0,+∞⟦avec n0 ∈N. • Il existe au moins deux manières courantes de représenter une suite (un)n∈N : — soit comme une fonction de N dans R, c’est-à-dire de manière plane avec N en abscisse et R en ordonnée, — soit comme un ensemble de points le long d’un axe. n un r r r r r r r r r r r r r 0 1 2 r r r r r r r r r r r r r u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 u11 u12 Définition (Vocabulaire usuel sur les suites réelles) Soit (un)n∈N une suite réelle. • On dit que (un)n∈N est majorée si  un n∈N est une partie majorée de R, i.e. si : ∃M ∈R/ ∀n ∈N, un ⩽M. Un tel M est appelé UN majorant de (un)n∈N. On dit aussi que (un)n∈N est majorée par M ou que M majore (un)n∈N. On dispose bien sûr d’une définition analogue des suites minorées. • On dit que (un)n∈N est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, i.e. si : ∃K ∈R+/ ∀n ∈N, |un| ⩽K. • On dit que (un)n∈N est positive si elle est minorée par 0, i.e. si pout tout n ∈N : un ⩾0. On dispose bien sûr d’une définition analogue des suites négatives. • On dit que (un)n∈N est croissante (resp. strictement croissante) si pour tout n ∈N : un ⩽un+1 (resp. un < un+1). On dispose bien sûr de définitions analogues des suites décroissantes et strictement décroissantes. • On dit que (un)n∈N est monotone (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (resp. stricte- ment croissante ou strictement décroissante). $ ATTENTION ! $ Une suite majorée ne possède JAMAIS UN SEUL MAJORANT. Une suite majorée par 2 l’est aussi par 3, π, p 15... Par ailleurs : Les majorants d’une suite sont par définition des constantes. Une majoration de un par un réel QUI DÉPEND DE n NE montre PAS que la suite (un)n∈N est majorée.  En pratique  Pour montrer qu’une suite (un)n∈N est monotone, deux méthodes courantes : — étudier le signe de un+1 −un, — SI un > 0 POUR TOUT n ∈N : étudier la position de un+1 un par rapport à 1 — méthode intéressante surtout lorsque un est défini par des produits et des quotients et qu’on peut espérer des simplifications. 1 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple Pour tout n ∈N, on pose : un = 2n n + 1. La suite (un)n∈N est croissante. Démonstration Les deux méthodes de différence et quotient sont envisageables ici. Au choix, pour tout n ∈N : • Différence : un+1 −un = 2n+1 n + 2 − 2n n + 1 = 2n (n + 1)(n + 2) € 2(n + 1) −(n + 2) Š = 2nn (n + 1)(n + 2) ⩾0. • Quotient : un > 0 ET un+1 un = 2n+1 n + 2 × n + 1 2n = 2(n + 1) n + 2 = (n + 2) + n n + 2 = 1 + n n + 2 ⩾1. Définition (Propriété vraie à partir d’un certain rang) Soient (un)n∈N une suite et P = (Pn)n∈N une suite de propositions portant sur (un)n∈N. On dit que (un)n∈N vérifie la propriété P à partir d’un certain rang s’il existe N ∈N tel que pour tout n ⩾N, la proposition Pn soit vraie.  Explication  Ce qu’une suite a d’intéressant, ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement « à l’infini ». Si par exemple tous ses termes sont majorés par 1 sauf les 30 premiers, on a bien envie de dire que la suite est « presque » majorée par 1. Pour être exact, on dit qu’elle est majorée par 1 à partir d’un certain rang.  Explication  On peut définir une suite principalement de deux façons — soit explicitement, soit implicitement par récurrence. Ceci ne veut pas dire qu’il y a deux sortes de suites, ce sont là seulement deux manières de les définir. Une suite géométrique, par exemple, peut être définie aussi bien explicitement (« un = qnu0 ») que par récurrence (« un+1 = qun »). • Suites définies explicitement : Définir une suite (un)n∈N explicitement, c’est la définir à l’aide d’une certaine fonc- tion f par une expression « un = f (n) ». Avec une telle définition il n’est pas difficile de calculer u1000, on calcule directement f (1000). De nombreuses propriétés de f se transmettent alors telles quelles à (un)n∈N, qui n’est après tout que la restriction de f à N — ainsi la monotonie, le signe et le caractère majoré/minoré/borné. f est bornée... ... donc (un)n∈N est bornée. r r r r r r r r f est croissante... r r r r r r r r ... donc (un)n∈N est croissante. • Suites récurrentes définies par une relation « un+1 = f (un) » : On peut définir une suite (un)n∈N par récurrence par la donnée de son premier terme u0 et d’une relation « un+1 = f (un) » où f est une fonction. Une telle définition présente un énorme inconvénient, on est obligé pour calculer u1000 de calculer les uns après les autres u1,...,u999,u1000. $ ATTENTION ! $ Pour une suite récurrente (un)n∈N f est croissante =⇒ (un)n∈N est croissante. définie par une relation « un+1 = f (un) » : f est décroissante =⇒ (un)n∈N est décroissante. y = f (x) y = x u0 u1 u2 u3 ... f est croissante MAIS (un)n∈N décroissante. y = f (x) y = x u0 u1 u2 u3 u4 u5 ... f est décroissante MAIS (un)n∈N n’est même pas monotone. Nous reviendrons plus longuement dans un prochain paragraphe sur les suites récurrentes « un+1 = f (un) ». 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 2 LIMITE D’UNE SUITE RÉELLE DANS R La notion de voisinage, issue d’une partie des mathématiques appelée topologie, n’est pas au programme de MPSI mais elle facilite grandement la compréhension des limites. Je ne vous en donne ci-dessous qu’une DÉFINITION SIMPLIFIÉE. Définition (Voisinage d’un point dans R, définition simplifiée) Soit ℓ∈R. On appelle voisinage de ℓ(dans R) : — si ℓ∈R, tout intervalle de la forme ]ℓ−ǫ,ℓ+ ǫ[ avec ǫ > 0, — si ℓ= +∞, tout intervalle de la forme ]A,+∞[ avec A ∈R, — si ℓ= −∞, tout intervalle de la forme ]−∞,A[ avec A ∈R.  Explication  L’idée, c’est qu’un voisinage de ℓcontient tous les réels « à proximité immédiate » de ℓ. −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ Voisinage de −∞ A b ℓ ǫ Voisinage de ℓ∈R Voisinage de +∞ A Théorème (Deux points distincts ont des voisinages disjoints) Soient ℓ,ℓ′ ∈R. Si : ℓ̸= ℓ′, il existe un voisinage V de ℓet un voisinage V ′ de ℓ′ pour lesquels : V ∩V ′ = ∅. Démonstration Nous ne traiterons que deux cas caractéristiques, les autres se traitent de la même manière. −∞ +∞ b b ℓ ℓ′ ǫ ǫ ǫ V V ′ • Cas où ℓ,ℓ′ ∈R avec ℓ< ℓ′ : Posons : ǫ = ℓ′ −ℓ 3 , puis : V = ]ℓ−ǫ,ℓ+ ǫ[ et V ′ = ]ℓ′−ǫ,ℓ′+ǫ[. Alors V est un voisinage de ℓ, V ′ un voisinage de ℓ′ et : V ∩V ′ = ∅. −∞ +∞ b ℓ ℓ′ 1 2 V V ′ • Cas où ℓ∈R et ℓ′ = +∞: Posons : V = ]ℓ−1,ℓ+1[ et V ′ = ]ℓ+2,+∞[. Alors V est un voisinage de ℓ, V ′ un voisinage de ℓ′ = +∞et : V ∩V ′ = ∅. ■ La définition suivante est l’objet central de ce chapitre. Définition (Limite d’une suite) Soient (un)n∈N une suite et ℓ∈R. • Définition générale : On dit que (un)n∈N admet ℓpour limite si tout voisinage de ℓcontient tous les un à partir d’un certain rang, i.e. si : pour tout voisinage V de ℓ, un appartient à V à partir d’un certain rang. • Cas d’une limite finie : Lorsque : ℓ∈R, on dit que (un)n∈N admet ℓpour limite si : ∀ǫ > 0, ∃N ∈N/ ∀n ∈N, n ⩾N =⇒|un −ℓ| < ǫ, ou bien de manière plus concise, si : ∀ǫ > 0, ∃N ∈N/ ∀n ⩾N, |un −ℓ| < ǫ. • Cas de la limite +∞: On dit que (un)n∈N admet +∞pour limite si : ∀A > 0, ∃N ∈N/ ∀n ∈N, n ⩾N =⇒un > A, ou bien de uploads/Litterature/ cours-limite-d-x27-une-suite-pdf.pdf

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