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27/11/2019 DEME MAIMOUNA GROUPE SCOLAIRE FUSOS COURS SOCIAUX LES LIMITES PROFES

27/11/2019 DEME MAIMOUNA GROUPE SCOLAIRE FUSOS COURS SOCIAUX LES LIMITES PROFESSEUR: MR.KOKO 1 LES LIMITES Sommaire I- Notion de limite II- Calcul de limites III- Limite de somme, produit et quotient IV- Limite en un point et signe de la limite V- Formes indéterminées VI- Théorème du plus haut degré VII- Théorèmes de comparaison et des gendarmes VIII- Asymptotes IX- Compléter un tableau de variations X- Intérêt des limites 2 Introduction La limite est une notion nouvelle en 1ère, mais c’est assez simple, il suffit de connaitre quelques règles. Retiens bien ce qui suit car on se sert très souvent de la limite, notamment dans les études de fonctions. I- Notion de limite La limite d’une fonction, c’est en gros « vers quoi tend » la fonction. Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse : On voit bien que quand x tend vers +∞, la fonction « tend » vers 0, c’est-à-dire qu’elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher. Et bien on appelle cela une limite, puisque la fonction « tend vers » quelque chose. On note cette limite de la façon suivante : Et on prononce cela « limite quand x tend vers plus l’infini de 1 sur x égal 0 ». Pour l’instant retiens juste la notation et cette notion de « tendre vers », de toute façon au fur et à mesure de la leçon tu assimileras de mieux en mieux le concept de limite avec les exemples. II- Calcul de limites Nous allons maintenant voir comment calculer des limites. Déjà une limite peut se calculer pour tous les x, c’est-à-dire que le x peut tendre vers -∞, -9, 4, ½, π, 0, +∞, etc… 3 En gros, pour calculer une limite, on remplace le x dans la fonction par vers quoi il tend. Exemple : Si on veut calculer : Et bien on remplace tout simplement le x par 4 : Un autre exemple : Comme tu le vois il n’y a aucune difficulté, on remplace le x et on calcule ! Bon ça ce sont des cas simples, mais ce n’est pas tout le temps comme ça. Reprenons notre exemple de tout à l’heure : On devrait écrire : Oui mais CE N’EST ABSOLUMENT PAS MATHEMATIQUE !!! Il ne faut JAMAIS écrire 1/∞ dans une copie, ce sera immédiatement rayé par le correcteur !! En revanche sur un brouillon tu peux tout à fait l’écrire. De même, si on cherche la limite en 0, on devrait écrire : 4 Or tu sais très bien qu’ON NE DIVISE JAMAIS PAR 0 !!! Il est également absolument faux d’écrire 1/0, n’écris jamais ça dans ta copie !! Alors comment faire ? Et bien c’est simple, il y a 2 formules à retenir, mais au brouillon, IL NE FAUT SURTOUT PAS LES ECRIRE SUR UNE COPIE : Ces formules sont très simples à retenir : Pour la 1ère, c’est comme si tu avais un gâteau que tu divisais en une infinité de part. Tu peux donc imaginer que les parts seront microscopiques, ce qui donne 0. Pour la 2ème, c’est comme si tu avais un gâteau que tu divisais en faisant des parts minuscules, tu auras donc une infinité de part, d’où l’infini. Tu as remarqué que nous n’avons pas précisé +∞ ou -∞, nous avons juste mis ∞. Nous reviendrons plus tard sur ce détail de signe, tu verras que c’est très simple. Ainsi, on écrit directement : Car on sait que 1/∞ = 0, mais ça c’est dans ta tête ou sur le brouillon que tu l’écris, pas sur ta feuille… Evidemment tu auras des fonctions plus compliquées que 1/x, nous allons maintenant voir comment s’en sortir. Ne t’inquiète pas, nous ferons des exemples plus tard III- Limite de somme, produit et quotient Quand on a une somme de 2 fonctions c’est très simple : on additionne les limites ! Généralement il n’y a pas de souci, et souvent les limites se « simplifient ». En effet, si f tend vers +∞ et g vers 4 par exemple, f + g tendra vers +∞, le 4 étant négligeable. 5 Pour les produits et les quotients c’est pareil, on multiplie les limites des 2 fonctions et on les divise les limites des 2 fonctions ! Il y a cependant quelques règles simples à retenir un peu comme 1/0 = ∞ et 1/∞=0 : Avec l réel DIFFERENT DE 0 !! Toutes ces règles sont extrêmement logiques en y réfléchissant un peu. Tu n’es donc pas obligé de les apprendre par cœur, essaye plutôt de comprendre la logique de ces formules. IV- Limites en un point et signe de la limite Tu as remarqué que parfois nous n’avons pas parlé du signe de la limite, nous avons laissé ∞ sans préciser + ou -. En fait c’est comme pour un calcul normal, on applique la règle des signes !! Exemple : on veut calculer Ça devrait donner 1/0, et donc l’infini. Oui mais + ou – ?? Et bien tout dépend si le 0 est positif ou négatif… mais on sait que le 0 n’est ni positif ni négatif ! Mais comment va-t-on faire ?? En fait, ce n’est pas vraiment 0, c’est le x qui tend vers 0. Tout dépend alors si le x tend vers 0 en venant des valeurs négatives ou positives : 6 On voit que le x peut tendre vers 0 de 2 manières : par valeurs négatives (en venant de la gauche) ou positives (en venant de la droite). Il y a donc 2 cas à traiter, qui s’écrivent de la manière suivante : et On rajoute x > 0 si x tend vers 0 par valeurs positives, et x < 0 si x tend vers 0 par valeurs négatives. On écrit également : et Cela revient au même, 0+ signifie x > 0, et 0– signifie x < 0. Et là on peut calculer : 7 car 1 et 0+ sont positifs car 1 est positif et 0– négatif, donc c’est négatif Comme tu le vois il suffit d’appliquer la règle des signes !! Evidemment il ne faut PAS écrire sur la copie, ici c’est juste pour t’expliquer !! Comme tout à l’heure tu donnes directement le résultat : +∞ ou -∞. A noter que ceci est bien cohérent avec le graphique de la fonction inverse ci-dessus (heureusement !!). Evidemment, on peut faire de même pour ou Puisqu’à chaque fois le dénominateur vaudra 0. Enfin une dernière remarque, cette histoire de 0+ et 0– peut également s’appliquer à la limite elle-même. Tout à l’heure, on a dit que : En fait on pourrait aller plus loin en disant que 8 Cela nous permettrait de calculer : et Ceci est bien cohérent avec la courbe de la fonction inverse, puisqu’en -∞ la fonction est sous l’axe des abscisses, donc négative (d’où le 0–), alors qu’en +∞ la fonction est au- dessus de l’axe des abscisses, donc positive (d’où le 0+) Il est évident que ce n’est qu’avec l’entraînement que tout ceci te paraîtra simple, il y a beaucoup de nouvelles choses pour toi dans ce cours (et ce n’est pas fini !) V- Formes indéterminées Malheureusement ce n’est pas toujours aussi simple, il y a parfois ce qu’on appelle des formes indéterminées, souvent notées FI. On est dans ce cas quand on a par exemple une somme de fonctions, l’une tendant vers +∞, l’autre vers -∞. Ca nous donnerait +∞ + (-∞), mais quel est le résultat ?? Et bien on ne sait pas, cela ne correspond à aucune formule précédente : c’est une forme indéterminée. Il y a en tout 4 formes indéterminées : Quand on tombe sur une forme de ce type, on ne peut pas calculer la limite. Mais cela ne veut pas dire qu’il n’y a pas de limite !! 9 Pour calculer ces limites, il faut appliquer d’autres théorèmes ou astuces, que l’on va voir tout de suite. VI- Théorème du plus haut degré Quand on a des polynômes, on peut tomber sur des formes indéterminées. Exemple : C’est une forme indéterminée Alors comment faire ? Et bien c’est très simple : Exemples : Comme tu le vois c’est extrêmement simple — ATTENTION !! Ceci n’est valable que quand x tend +∞ ou -∞ !!! — L’intérêt, c’est que ce théorème marche aussi pour les fractions rationnelles !!! Ce qui permet grandement de simplifier les problèmes. On rappelle que les fractions rationnelles sont des fractions avec un polynôme au numérateur et un autre polynôme au dénominateur. Exemples : 10 — Attention ! Il faut absolument laisser les coefficients des termes du plus haut degré !! Dans le dernier exemple, c’est le 8 du 8x7 et le -9 du -9x5. En effet, on remarque dans cet exemple qu’ils ont une influence avec leur signe, puisqu’à la fin on applique la règle des signes. Dans l’exemple, le 8x2 tend vers +∞, mais le -9 fait changer le signe uploads/Litterature/ les-limites-expose.pdf