Université de Caen L3 SOLUTION TP no 7 Solution 1. On s’intéresse à la durée de

Université de Caen L3 SOLUTION TP no 7 Solution 1. On s’intéresse à la durée de vie d’un certain type de voiture. Soit X la var égale à la durée de vie en années d’une de ces voitures. On suppose que X suit la loi exponentielle E( 1 10), i.e. de densité f(x) =    1 10e−x 10 si x ≥0, 0 sinon. 1. Écrire une nouvelle fonction R équivalente à dexp (on pourra utiliser une structure de contrôle if . . .else pour que celle-ci soit égale à 0 quand x < 0) : densexp = function(x, lambda) { if (x<0) 0 else lambda * exp(-lambda * x) } 2. Vérifier numériquement que R 100 0 f(x)dx ≃1 : integrate(function(x) dexp(x, 1 / 10), 0, 100) 3. Séparer l’écran graphique en 2: dans la fenêtre 1, représenter le graphe de la densité f et, dans la fenêtre 2, celui de la fonction de répartition de X : par(mfrow = c(1, 2)) curve(dexp(x, 1 / 10), 0, 15, ylab = "Densité") curve(pexp(x, 1 / 10), 0, 15, ylab = "Fonction de répartition") 4. Calculer la probabilité que la durée de vie d’une voiture dépasse 10.2 ans : 1 - pexp(10.2, 1 / 10) renvoie : [1] 0.3605949 Solution 2. Soit X une var suivant la loi gamma Γ(5, 1), i.e. de densité f(x) =    1 24x4e−x si x ≥0, 0 sinon. 1. Écrire une nouvelle fonction R équivalente à dgamma : densgamma = function(x, m, lambda) { if (x<0) 0 else (1 / factorial(m - 1)) * lambda^m * x^(m - 1) * exp(-lambda * x) } C. Chesneau 1 TP no 7 : solution Université de Caen L3 2. Vérifier numériquement que R 100 0 f(x)dx ≃1 : integrate(function(x) dgamma(x, 5, 1), 0, 100) 3. Évaluer la fonction de répartition de X, i.e. F(x), pour x ∈{2, . . . , 10} : x = 2:10 pgamma(x, 5, 1) renvoie : [1] 0.05265302 0.18473676 0.37116306 0.55950671 0.71494350 0.82700839 [8] 0.90036760 0.94503636 0.97074731 qui correspondent à F(2), . . . , F(10) respectivement. 4. Déterminer le réel x vérifiant P(X ≤x) = 0.92 : qgamma(0.92, 5, 1) renvoie : [1] 8.376739 Solution 3. Soit X une var suivant la loi normale N(0, 1), i.e. de densité f(x) = 1 √ 2πe−x2 2 , x ∈R. 1. Écrire une nouvelle fonction R équivalente à la fonction dnorm : densnorm = function(x) { (1/sqrt(2 * pi)) * exp(-x^2 / 2) } 2. Vérifier numériquement que R 100 −100 f(x)dx ≃1 : integrate(function(x) dnorm(x), -100, 100) 3. Séparer l’écran graphique en 2: dans la fenêtre 1, représenter le graphe de la densité f et, dans la fenêtre 2, celui de la fonction de répartition de X : par(mfrow = c(1, 2)) curve(dnorm(x), -5, 5, ylab = "Densité") curve(pnorm(x), -5, 5, ylab = "Fonction de répartition") 4. Calculer P(X ≤2.2), P(X ≥1.7), P(0.2 ≤X < 1.4) et P(|X| ≤1.96) : • P(X ≤2.2) : pnorm(2.2) renvoie : [1] 0.9860966 • P(X ≥1.7) : 1 - pnorm(1.7) renvoie : [1] 0.04456546 • P(0.2 ≤X < 1.4) : pnorm(1.4) - pnorm(0.2) renvoie : [1] 0.3399836 C. Chesneau 2 TP no 7 : solution Université de Caen L3 • P(|X| ≤1.96) = 2P(X ≤1.96) −1: 2 * pnorm(1.96) - 1 renvoie : [1] 0.9500042 5. Déterminer le réel x vérifiant P(X ≤x) = 0.98 : qnorm(0.98) renvoie : [1] 2.053749 Solution 4. On suppose que le poids d’un foie gras est une var X suivant la loi normale N(550, 1002), l’unité étant le gramme. Quelle est la probabilité qu’un foie gras pèse • moins de 650 grammes : pnorm(650, 550, 100) renvoie : [1] 0.8413447 • plus de 746 grammes ? 1 - pnorm(746, 550, 100) renvoie : [1] 0.0249979 (ou pnorm(746, 550, 100, lower.tail=F)). • entre 550 grammes et 600 grammes : pnorm(600, 550, 100) - pnorm(550, 550, 100) renvoie : [1] 0.1914625 Solution 5. Soit X une var suivant la loi normale N(0, 1). La fonction de répartition de X, i.e. F(x) = P(X ≤x), avec x ≥0, peut s’écrire comme F(x) = 1 2 + 1 √ 2πe−x2 2 ∞ X n=0 x2n+1 Qn m=0(2m + 1). Utiliser cette expression pour écrire une nouvelle fonction R équivalente à la fonction pnorm (on tronquera la somme infinie à la valeur 50) : foncrep = function(x) { n = 1 + 2 * 0:50 0.5 + (1/sqrt(2 * pi)) * exp(-x^2 / 2) * sum(x^n / cumprod(n)) } Par exemple, foncrep(1.2) renvoie : [1] 0.8849303, ce qui correspond exactement au résul- tat de pnorm(1.2). Solution 6. Commenter le résultat des commandes suivantes : curve(dweibull(x, 2, 2), -5, 5, col = "red") renvoie un graphique où est tracé en rouge la densité associée à la loi de Weibull W(2, 2), i.e. f(x) =    x 2e−( x 2 )2 si x ≥0, 0 sinon. curve(dt(x, 3), -5, 5, col = "blue", add = T) renvoie le tracé en bleu de la densité associée à la loi de Student T (3), i.e. g(x) = 2 π √ 3 1 1 + x2 3 2, x ∈R. C. Chesneau 3 TP no 7 : solution Université de Caen L3 curve(df(x, 2, 4), -5, 5, col = "orange", add = T) renvoie le tracé en orange de la densité associée à la loi de Fisher F(2, 4), i.e. h(x) =      1 1 + 1 2x 3 si x ≥0, 0 sinon. curve(dcauchy(x, 2, 3), -5, 5, col = "magenta", add = T) renvoie le tracé en magenta de la densité associée à la loi de Cauchy C(2, 3), i.e. i(x) = 1 3π  1 + x−2 3 2, x ∈R. Solution 7. La loi binomiale B(n, p) peut être approchée par la loi normale N(np, np(1 −p)) si n ≥30, np ≥5 et n(1 −p) ≥5, i.e. B(n, p) ≈N(np, np(1 −p)), n ≥30, np ≥5, n(1 −p) ≥5. L’objectif de cet exercice est d’étudier cette approximation avec le logiciel R. 1. Reproduire et analyser les commandes suivantes : plot(0:100, dbinom(0:100, 100, 0.5), type = "h", xlim = c(20, 80)) renvoie l’histogramme associé à la loi binomiale B(100, 0.5), curve(dnorm(x, 100 * 0.5, sqrt(100 * 0.5 * (1 - 0.5))), col = "red", add = T) renvoie la courbe de la loi normale N(50, 25). On constate que cette courbe ajuste bien l’histogramme, cela illustre le fait que B(n, p) ≈N(np, np(1 −p)) avec n = 100 et p = 0.5. Notons que les conditions théoriques sont vérifiées : n = 100 ≥30, np = 50 ≥5, n(1 −p) = 50 ≥5. 2. Pour chaque n ∈{5, 10, 20, 50, 100}, évaluer le maximum de l’erreur commise lorsque que l’on approche la loi binomiale par la loi de Poisson (avec correction de continuité), i.e. calculer En = max k∈{0,...,n} |P(X = k) −P(k −1/2 ≤Y ≤k + 1/2)|, où X est une var suivant la loi binomiale B(n, 5/n) et Y est une var suivant la loi normale N(5, 5(1 −5/n)) : for (n in c(5, 10, 20, 50, 100)) { En = max(abs(dbinom(0:100, n, 5 / n) - (pnorm(0:100 + 0.5, 5, sqrt(5 * (1 - 5 / n))) - pnorm(0:100 - 0.5, 5, sqrt(5 * (1 - 5 / n)))))) print(En) } renvoie : [1] 0.002719793 0.0129594 0.0181115 0.01960167 Commenter les résultats obtenus : On remarque que cette erreur s’amenuise à mesure que n croît, illustrant encore l’approximation B(n, p) ≈N(np, np(1 −p)) avec n = 100 et p = 0.5. C. Chesneau 4 TP no 7 : solution Université de Caen L3 3. Application. Un disquaire a observé qu’un client sur 20 achète un cd de Jazz. En un mois, 800 clients se présentent au guichet du magasin de disques. Soient X la var égale au nombre de clients qui achètent un cd de Jazz durant ce mois. (a) Déterminer la loi de X : On a X(Ω) = {0, . . . , 800}. Par définition, X est égale au nombre de réalisations de A= "le client achète un cd de Jazz" en 800 expériences indépendantes. On en déduit que X suit la loi binomiale B(n, p) avec n = 800 et p = P(A) = 1 20. Donc P(X = k) = 800 k   1 20 k  1 −1 20 800−k , k ∈{0, . . . , 800}. (b) Par quelle loi qui peut-on approcher la loi de X ? Comme n = 800 ≥30, np = 40 ≥5, n(1 −p) = 760 ≥5, on a B(n, p) ≈N(np, np(1 −p)) avec np = 40 et np(1 −p) = 38. Donner une approximation de P(35 ≤X ≤45) (avec correction de continuité), puis comparer avec la vraie valeur : Soit Y une var suivant la loi N(40, 38). Avec la correction de continuité, on a P(35 ≤X ≤45) ≃P  35 −1 2 ≤Y ≤45 + 1 2  pnorm(45.5, 40, sqrt(38)) - pnorm(34.5, 40, sqrt(38)) renvoie : uploads/Litterature/ tpr-7-cor.pdf

Tags
littérature renvoie solution fonction densité suivant
Documents similaires
  • 24
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager