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LM360 Math´ ematiques 2008 TD de topologie et calcul diﬀ´ erentiel– Corrig´ e d

LM360 Math´ ematiques 2008 TD de topologie et calcul diﬀ´ erentiel– Corrig´ e de la Feuille 4: Espaces complets, Point ﬁxes Groupe de TD 5 La compl´ etude est une notion d’espace topologique m´ etrique et qui ne d´ epend pas seulement de la topologie des espaces concern´ es. En particulier, la compl´ etude n’est pas une notion pr´ eserv´ ee par hom´ eomorphisme (contrairement ` a la compacit´ e ou la connexit´ e), voir l’exercice 2. Rappelons qu’une suite (an)n∈N est de Cauchy dans une espace m´ etrique (E, d) si et seulement si d(ap, an) − → min(n,p)→+∞0, o` u min d´ esigne le minimum. Exercice 1. On consid` ere un espace discret muni de la distance d telle que d(x, y) = 1 si x ̸= y. Quelles sont ses suites de Cauchy ? Est-il complet ? Correction 1. Soit (an)n∈N une suite de Cauchy. Alors pour tout ε > 0, il existe m ∈N tel que pour tout n, p > m on a d(an, ap) < ε. En particulier pour ε = 1/2 (ou en fait tout ε ≤1), on obtient que an = ap pour tout p, n > m. Donc la suite (an)n∈N est stationaire pour n assez grand. R´ eciproquement toute suite stationaire pour n assez grand est de Cauchy. Une suite stationaire est ´ evidemment convergente, donc l’espace consid´ er´ e est complet. Exercice 2. Donner un exemple d’espaces m´ etriques X et Y hom´ eomorphes tels que X soit complet et Y ne le soit pas. Correction 2. Consid´ erons l’intervalle ouvert I =] −π/2, π/2[ dans R (muni de sa distance usuelle). L’intervalle I n’est pas complet car I est ouvert dans R (et qu’un espace complet est ferm´ e d’apr` es le cours). Consid´ erons maintenant l’application tangente tan : I →R, d´ eﬁnie par x 7→tan(x). C’est une application continue et bijective dont l’inverse est donn´ e par la fonction arctan : R →I, x 7→arctan(x). Il est bien connu que la fonction arctangente est ´ egalement continue; donc tan : I →R est une hom´ eomorphisme de I sur R. Mais R est complet d’apr` es le cours. Il y avait bien entendu bien d’autres exemples possibles... Par exemple la fonction x 7→exp(x) d´ eﬁnie de R dans ]0, +∞[. Exercice 3. Soit X et Y deux espaces m´ etriques et f une application X →Y . a) Montrer que si f est uniform´ ement continue, alors elle conserve les suites de Cauchy. Qu’en est-il de la r´ eciproque ? b) Supposons f uniform´ ement continue, bijective et de r´ eciproque continue. Mon- trer que si Y est complet, X l’est aussi. Correction 3. a) Soit (an)n∈N une suite de Cauchy dans X. On veut montrer que la suite (f(an))n∈N est de Cauchy dans Y . C’est ` a dire que pour tout ε > 0, on doit trouver m ∈N tel que pour tout p, n > m, on ait d(f(an), f(ap)) < ε. (0.1) Mais comme f est uniform´ emment continue, il existe δ > 0 tel que pour tout x, y ∈X avec d(x, y) < δ, on ait d(f(x), f(y)) < ε. Il suﬃt maintenant de trouver m tel que pour tout p, n > m, on ait d(an, ap) < δ pour que 1 l’in´ egalit´ e (0.1) soit v´ erif´ ee. C’est possible puisque, jsutement, la suite (an)n∈N est de Cauchy. La r´ eciproque n’est pas vraie. En eﬀet consid´ erons R qui est complet (c’est du cours). En particulier les suites de Cauchy de R sont les suites conver- gentes (rappelons qu’une suite convergente est toujours de Cauchy dans un espace m´ etrique et que la r´ eciproque est, par d´ eﬁnition, vraie dans les espaces complets). Comme toute fonction continue pr´ eserve les suites convergentes, elle pr´ eserve aussi les suites de Cauchy. Mais il existe des fonctions continues R →R qui ne sont pas uniform´ emment continues; par exemple x 7→x3. Pour ˆ etre complet (sans jeu de mot), d´ emontrons maintenant que x 7→x3 n’est pas uniform´ ement continue (mˆ eme s’il s’agit plus ou moins d’un r´ esultat du cours). Il suﬃt de montrer que pour tout δ > 0, il existe x, y ∈R tels que |x −y| ≤δ et |x3 −y3| ≥1. Soit x > 0 et y = x + δ. Alors |x3 −y3| = |x −y||x2 + xy + y2| = δ|x2 + xy + y2| ≥δx2. Il suﬃt alors de choisir x ≥1/ √ δ pour avoir |x3 −y3| ≥1. b) Il faut montrer que toute suite de Cauchy (an)n∈N dans X est convergente. par le a), on sait que la suite (f(an))n∈N est de Cauchy. Comme Y est complet, elle converge donc vers un point y ∈Y . Comme f est bijective, il existe x ∈X tel que y0 = f(x). Montrons que la suite (an) converge vers x. Mais puisque on a suppos´ e que f −1 est continue, la suite (f −1(f(an)) = an) converge vers f −1(y) = x. Donc (an) est convergente et il en d´ ecoule que X est complet. Exercice 4 (Distances usuelles sur C0([0, 1], R) ). Soit E l’espace des fonctions continues de [0, 1] dans R. Pour tout f et g dans E, on pose d(f, g) = Z 1 0 |f(t) −g(t)| dt. On note d′ la distance de la convergence uniforme sur E. a) Rappeler pourquoi (ou montrer que) (E, d′) est complet. b) Montrer que d est une distance. c) Montrer que l’application identique de (E, d′) dans (E, d) est continue et que par contre l’application identique de (E, d) dans (E, d′) n’est pas continue. d) Montrer que (E, d) n’est pas complet. Correction 4. a) Rappelons le r´ esultat suivant du cours: soit Y un espace complet et X un espace topologique alors l’espace Y X des fonctions de X dans Y pour la m´ etrique de la convergence uniforme est complet. Rappelons que si X n’est pas compact, la distance de la convergence uniforme n’est qu’une semi- norme. De plus, d’apr` es le cours, une limite uniforme de fonctiosn continues est continue.On conseille au lecteur de consulter le cours pour plus de d´ etails... Rappelons rapidement le principe de la d´ emonstration dans le cas de E = C0([0, 1], R). On a not´ e d′ la distance de la convergence uniforme (qu’on notera souvent aussi d∞). Si (fn)n∈N est une suite de Cauchy dans E, alors pour tout ε > 0, il existe N ∈N tel que pour tout n, m > N, on ait, ∀t ∈[0, 1], |fn(t) −fm(t)| < ε (0.2) On en d´ eduti que pour tout t ﬁx´ e la suite de r´ eels (fn(t))n∈N est de Cauchy, donc convergente dans R (qui est complet). On note f(t) la limite de fn(t). 2 Toujours en ﬁxant t dans l’in´ egalit´ e (0.2) et en faisant tendre m vers l’inﬁni on obtient que ∀t ∈[0, 1], |fn(t) −f(t)| ≤ε. (0.3) Il suit que fn converge uniform´ ememnt vers f. D’apr` es un r´ esultat du cours, comme les fn sont continues, f est continue (il convient de savoir red´ emontrer ce r´ esultat; lire la preuve du cours si on ne s’en souveitn pas). b) Soient f, g, h ∈E. Comme l’int´ egrale d’une fonction positive est positive, d(f, g) ≥ 0 et de plus |f −g| = |g −f| implique d(f, g) = d(g, f). De plus si f, g sont continues, |f −g| est continue et positive. Or l’int´ egrale d’une fonc- tion continue et positive est nulle si et seulement si cette fonction est nulle. Il en r´ esulte que d(f, g) = 0 ssi f −g = 0. Enﬁn l’in´ egalit´ e triangulaire |f(t) −h(t)| ≤|f(t) −gt(t)| + |g(t) −h(t)| (pour tout t ∈[0, 1]) implique d(f, h) ≤d(f, g) + d(g, h) (par lin´ earit´ e de l’int´ egrale). On a montr´ e que d est une distance sur E. c) Montrons que l’identit´ e id : f 7→f est continue de (E, d′) vers (E, d). Les espaces consid´ er´ es ´ etant m´ etriques, il suﬃt de montrer que si (fn)n∈N est une suite de fonction uniform´ emment convergente vers f ∈E (c’est ` a dire pour la distance d′), alors (fn) converge vers f pour la distance d. Comme fn convegre uniform´ emment vers f, pour tout ε > 0, il existe m ∈N tel que, pour tout t ∈[0, 1], |fn(t) −f(t)| < ε. D’o` u d(fn, f) = Z 1 0 |fn(t) −f(t)|dt < Z 1 0 ε = ε. On a obtenu que la suite de fonctions fn converge vers f pour la distance d. Montrons maintenant que l’application identique id : x 7→x, cette fois-ci vue comme une fonction (E, d) vers (E, d′) n’est pas continue. Il suﬃt d’exhiber une suite de fonctions (fn)n∈N qui converge vers une fonction f pour la dis- tance d, mais uploads/Litterature/ corrige-td4-lm360.pdf