c ⃝Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI Probabilités sur un univers fini

c ⃝Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI Probabilités sur un univers fini 1 Expérience aléatoire et événements    Explication • Le concept d’expérience aléatoire n’est pas mathématique à proprement parler. On appelle ainsi toute expérience — expérience matérielle ou expérience de pensée — susceptible a priori de résultats différents quand on la répète. L’ensemble de ces résultats observables est appelé l’univers de l’expérience étudiée et très souvent noté Ω. Plutôt que de résultats, on parle aussi souvent d’issues et de réalisations. – L’expérience d’un lancer de dé à 6 faces peut conduire à 6 résultats selon la face obtenue. On pourra modéliser une telle expérience par l’univers Ω= n 1, 2, 3, 4, 5, 6 o . – L’expérience du tirage de 2 boules successivement avec remise dans une urne contenant des boules noires et des boules blanches peut conduire à 4 résultats : (0, 0), (1, 0), (0, 1) et (1, 1) si on choisit d’associer « 0 » à la couleur noire et « 1 » à la couleur blanche. On pourra modéliser une telle expérience par l’univers Ω= n 0, 1 o2 des 2-listes de n 0, 1 o . En MPSI, tous nos univers seront des ensembles finis. Vous étudierez certains univers infinis en deuxième année. Cette restriction du programme aux univers finis est uniquement technique. La théorie générale des probabilités sur un univers quelconque, pour peu qu’on la développe vraiment rigoureusement, requiert l’introduction d’objets et de techniques sensiblement plus sophistiqués que ceux que nous aborderons ensemble. L’ennui bien sûr, c’est qu’en limitant la taille des univers, on limite drastiquement le nombre des expériences aléatoires autorisées. Il nous sera par exemple impossible en MPSI : – de jouer à pile ou face indéfiniment — mais vous le pourrez en deuxième année, – de jouer aux fléchettes contre un disque de rayon 2R et de nous demander quelle probabilité on a d’atterrir dans le disque central de rayon R — intuitivement : πR2 π(2R)2 = 1 4, mais comment le démontrer ? • A propos d’une expérience aléatoire donnée, on peut bien sûr appréhender chaque résultat isolément en tant qu’élément de Ω, mais ce qui nous intéresse généralement, ce sont des regroupements de résultats définis génériquement par une propriété commune et appelés événements. – Dans le lancé de dé précédent, la propriété « La face obtenue est paire » est satisfaite par 3 résultats, précisément par les résultats de l’ensemble n 2, 4, 6 o . – Dans le tirage dans l’urne précédent, la propriété « La première boule est blanche » est satisfaite par 2 résultats, précisément par les résultats de l’ensemble n (1, 0), (1, 1) o . Plus généralement, toute partie de Ωest appelée un événement. L’ensemble des événements de l’expérience aléatoire étudiée est ainsi l’ensemble P(Ω). Définition (Vocabulaire usuel sur les événements) Soit Ωun univers fini d’expérience aléatoire. • Les singletons de Ωsont appelés les événements élémentaires de l’expérience aléatoire étudiée ou de Ω. L’événement Ωest appelé l’événement certain et l’événement ∅l’événement impossible. • Pour tous événements A, B ∈P(Ω), l’événement A ∪B est appelé l’événement « A ou B » et l’événement A ∩B l’événement « A et B ». L’événement A est quant à lui appelé l’événement contraire de A. On dit que les événements A et B sont incompatibles s’ils sont disjoints, i.e. si A ∩B = ∅. • On appelle système complet d’événements de l’expérience aléatoire étudiée ou de Ωtout ensemble n A1, . . . , An o d’événements incompatibles dont la réunion est l’événement certain, i.e. tel que : n [ i=1 Ai = Ω et ∀i, j ∈J1, nK, i ̸= j = ⇒ Ai ∩Aj = ∅. 1 c ⃝Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI Exemple Pour l’expérience aléatoire du lancer d’un dé à 6 faces, les événements « La face obtenue est paire » et « La face obtenue est impaire » forment un système complet d’événements car on obtient forcément une face paire ou une face impaire et jamais les deux en même temps. Exemple Pour toute expérience aléatoire d’univers fini Ω= n ω1, . . . , ωn o , les événements élémentaires  ω1 , . . . ,  ωn forment un système complet d’événements. En effet : Ω= n [ i=1  ωi et pour tous i, j ∈J1, nK avec i ̸= j :  ωi ∩  ωj = ∅. 2 Probabilités sur un univers fini Définition (Probabilité sur un univers fini) Soit Ωun univers fini d’expérience aléatoire. On appelle probabilité sur Ωtoute application P : P(Ω) − →[0, 1] telle que : – P(Ω) = 1, – ∀A, B ∈P(Ω), A ∩B = ∅ = ⇒ P(A ∪B) = P(A) + P(B). Le couple (Ω, P) est alors appelé un espace probabilisé (fini).    Explication • Comme ∅∩∅= ∅: P(∅) = P(∅) + P(∅), donc P(∅) = 0. • Plus généralement, pour tous A1, . . . , An ∈P(Ω) deux à deux incompatibles : P n [ k=1 Ak ! = n X k=1 P(Ak). Théorème (Détermination d’une probabilité sur les événements élémentaires) Soient Ω= n ω1, . . . , ωn o un univers fini d’expérience aléatoire et p1, . . . , pn ∈[0, 1] des réels pour lesquels n X i=1 pi = 1. Il existe une et une seule probabilité sur Ωtelle que pour tout i ∈J1, nK : P  ωi  = pi. En l’occurrence, pour tout A ∈P(Ω) : P(A) = X 1⩽i⩽n ωi∈A pi. Démonstration • Analyse : Soit P une probabilité sur Ωtelle que pour tout i ∈J1, nK : P  ωi  = pi. Alors pour tout A ∈P(Ω), A étant la réunion disjointe des événements A ∩  ω1 , . . . , A ∩  ωn : P(A) = n X i=1 P  A ∩  ωi  P (∅)=0 = X 1⩽i⩽n ωi∈A P  ωi  = n X i=1 1A(ωi) pi. • Synthèse : Pour tout A ∈P(Ω), posons : P(A) = n X i=1 1A(ωi) pi. Comme alors 0 ⩽P(A) ⩽ n X i=1 pi = 1, on définit ainsi une application P de P(Ω) dans [0, 1]. – Ensuite : P(Ω) = n X i=1 1Ω(ωi) pi = n X i=1 pi = 1. – Egalement, pour tout j ∈J1, nK : P  ωj  = n X i=1 1{ωj}(ωi) pi = n X i=1 δij pi = pj. – Enfin, pour tous événements A, B ∈P(Ω) incompatibles : 1A∪B = 1A + 1B − 1A∩B = 1A + 1B, donc : P(A ∪B) = n X i=1 1A∪B(ωi) pi = n X i=1 1A(ωi) pi + n X i=1 1B(ωi) pi = P(A) + P(B). ■ Exemple • On lance un dé à 6 faces une fois. Quel espace probabilisé pour cette expérience aléatoire ? On peut choisir pour univers Ωl’ensemble J1, 6K des résultats potentiels et pour probabilité P sur Ωla probabilité définie pour tout k ∈J1, 6K par : P  k  = 1 6 — à moins que le dé soit pipé, les faces ont toutes autant de chances d’apparaître. 2 c ⃝Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI • On tire 2 boules successivement avec remise dans une urne contenant n boules noires et b blanches. Quel espace probabilisé pour cette expérience aléatoire ? On peut choisir pour univers Ωl’ensemble J0, 1K2 — « 0 » pour la couleur noire, « 1 » pour la couleur blanche — et pour probabilité P sur Ωla probabilité définie par : P n (0, 0) o = n n + b × n n + b, P n (1, 0) o = b n + b × n n + b, P n (0, 1) o = n n + b × b n + b et P n (1, 1) o = b n + b × b n + b, l’idée étant que la probabilité de tirer une boule noire dans l’urne vaut n n + b et celle de tirer une boule blanche b n + b. • On tire à présent 2 boules successivement sans remise dans l’urne précédente. Quel espace probabilisé pour cette expérience aléatoire ? On peut choisir pour univers Ωl’ensemble J0, 1K2 — « 0 » pour la couleur noire, « 1 » pour la couleur blanche — et pour probabilité P sur Ωla probabilité définie par : P n (0, 0) o = n n + b × n −1 n + b −1, P n (1, 0) o = b n + b × n n + b −1, P n (0, 1) o = n n + b × b n + b −1 et P n (1, 1) o = b n + b × b −1 n + b −1. Pourquoi ces valeurs ? Une fois qu’on a tiré la première boule, l’urne ne contient plus que n + b −1 boules, et pour P n uploads/Litterature/ cours-probabilites-sur-un-univers-fini.pdf

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