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114e année – no1 janvier 2004 Le plaisir des mathématiques, Jean-Pierre Serre E

114e année – no1 janvier 2004 Le plaisir des mathématiques, Jean-Pierre Serre Editorial : La RMS revit ! Note de cours : la radioactivité, André Warusfel Note de cours : invariance par extension du corps de base, Yves Duval Le théorème de Bézout, Michel Waldschmidt Approximation par des polynômes à coefficients dans Z, Hervé Pépin et Nicolas Tosel Quelques dénombrements dans les groupes finis, Richard Antetomaso 6976: École polytechnique 2003, Mathématiques I (énoncé), énoncé 6976: École polytechnique 2003, Mathématiques I (corrigé) 6977: École polytechnique 2003, Mathématiques II (énoncé), énoncé 6977: École polytechnique 2003, Mathématiques II (corrigé) Questions et réponses Du côté des élèves de Terminale S, énoncé Bibliographie [Table des matières] Le plaisir des mathématiques par Jean-Pierre Serre1 professeur au Collège de France Le plaisir des mathématiques ? J’ai commencé à le ressentir dès mes études secondaires. Pourquoi ? Un mot l’explique : la curiosité. Je n’étais pas porté plutôt vers un secteur qu’un autre, passant avec autant de joie de la théorie des équations à celle des coniques. La question fondamentale est : comment ça marche ? Ce qu’il y a d’extraordinaire, c’est que l’on peut parfois y répondre, avec toute la rigueur nécessaire, en bâtissant des solutions inattaquables. Qui ne désire pas tendre à la certitude ne peut vraiment pas être mathématicien. Bien sûr, une théorie peut devenir un jour démodée, soit parce que ses résultats se démontrent trop facilement, soit parce qu’elle est absorbée par une autre, plus efficace. Mais en tout cas - et c’est le point essentiel - elle ne deviendra jamais fausse, à la différence de ce qui se passe dans les autres sciences. Ce qui m’éblouissait, c’était qu’avoir compris quelque chose en mathématiques donne l’impression d’avoir acquis un savoir définitif. C’est la seule discipline où cela soit aussi clair. Il existe de très nombreux exemples de domaines où la curiosité d’un mathématicien peut avoir à s’exercer. Je me souviens par exemple d’avoir, taupin fraîchement intégré à l’École Normale, lu avec passion le livre de van der Waerden. J’avais également été fasciné par le théorème de Jordan disant qu’une courbe simple du plan euclidien partage ce plan en deux régions connexes. Avec mes amis Lacombe et Poitou, nous avons essayé de lire le texte original, sans d’ailleurs comprendre vraiment la démonstration de Jordan. L’extrême simplicité du résultat, si pénible à démontrer, nous avait fortement impressionnés. Pourquoi ça marche ? Ce n’est que deux ou trois ans plus tard que j’ai vu comment ce théorème se déduisait très simplement des propriétés générales des groupes de cohomologie. Un bel exemple ! Ω [Table des matières] [Table des matières] Éditorial: La RMS revit ! Après une interruption cruelle d’un trimestre, notre revue peut donc entamer sa cent quatorzième année. Après ce numéro, paraîtront deux livraisons respectivement envoyées aux nouveaux abonnés le 15 mars et le 15 mai 2004. Ce dernier numéro de l’année 2003-2004, qui contiendra notamment des corrigés d’exercices posés aux oraux des concours des principales écoles auquelles préparent les classes préparatoires scientifiques françaises, sera donc entre vos mains avant que ne commencent les semaines de préparation spécifique. Dès l’année scolaire 2004-2005 les dates de parution, pour le respect desquelles les rédacteurs et l’éditeur s’engagent de manière forte, sont d’ores et déjà fixées au 15 octobre (avec un certain nombre d’énoncés de problèmes d’écrit, ceux sur lesquels nous solliciterons des corrigés de nos lecteurs), 15 décembre, 15 mars et 15 mai, permettant ainsi la mise à disposition régulière à son public d’informations scientifiques sérieuses, telles qu’elles l’ont toujours été depuis le premier corrigé de problème (Polytechnique 1890) signé par le jeune Émile Borel, vite suivi par le premier texte du presque contemporain Henri Lebesgue, qui disserta pour sa part sur quelques propriétés de la strophoïde . . . La Revue entend donc, comme on vient de le voir, garder intact son rôle au sein de la communauté des “spéciales” qui avait fort mal ressenti, en juin 2003, l’annonce par la librairie Vuibert de sa suspension. Cela dit, le changement même de titre, maintenant centré sur l’ensemble de la filière mathématique (DEA et écoles doctorales exclues) montre que nous avons décidé de nous ouvrir également à ceux des élèves des classes de Première et Terminale qui veulent exercer leur curiosité sur des thèmes mathématiques les préparant à poursuivre des études dans notre discipline. On sait que la situation actuelle est dramatique en ce qui concerne la raréfaction des vocations scientifiques dans notre pays. Pour sa part, la nouvelle RMS entend jouer pleinement son rôle, fournissant textes et corrigés d’épreuves marquant toutes les étapes de la formation mathématique : Olympiades de Première et Terminales, Concours Général de cette même classe, écoles normales supérieures et polytechnique, et enfin le CAPES externe et les deux agrégations, interne et externe (sans oublier certains textes d’écoles d’ingénieurs qui nous paraîtront particulièrement intéressants). L’ouverture à une nouvelle couche de lecteurs potentiels qu’indique cette liste (non limitative) résulte bien entendu d’une réflexion commune à l’issue de laquelle nous nous sommes fixé essentiellement deux buts : montrer que travailler les mathématiques ne se fait bien qu’à travers certaines exigences nécessaires, mais aussi persuader – ce qui est sans doute encore plus difficile – les jeunes des générations montantes de la réalité de la passion qu’ils pourront connaître en s’adonnant fortement à l’étude des mathématiques. Nous avons voulu donner, dès ce premier numéro, deux signes forts de notre détermination. Nous avons d’abord été très honorés de ce que Jean-Pierre Serre, médaille Fields 1954 et prix Abel 2003, le premier parmi ses pairs de la prestigieuse école mathématique française, ait bien voulu inaugurer une série de textes personnels en racontant, de manière vivante, quelques aspects de ce qu’a été pour lui le plaisir des mathématiques : il revendique avec nous la force de ce terme. Nous sommes heureux de l’en remercier ici, et essaierons de publier régulièrement, dans les numéros à venir, des témoignages personnels variés d’autres maîtres contemporains, médaillés Fields, académiciens ou jeunes chercheurs, essayant de transmettre ainsi leur enthousiasme à une génération parfois hésitante devant l’aridité supposée de notre discipline. Le second signal, à un niveau beaucoup plus modeste, est donné par le premier des quatre articles ouvrant, comme de coutume, notre numéro : il a été conçu pour et est lisible par des élèves de Terminale, comme l’indique un sigle “TS” que l’on retrouvera autant de fois qu’il le faudra dans nos colonnes. Un peu plus loin d’ailleurs, ils trouveront également un texte de problème et quatre questions écrites à leur intention : la RMS s’engage à publier en mai les meilleures réponses qui lui seront parvenues (au plus tard le 1er mars 2004, à notre nouvelle adresse : RMS, 12 rue de la Montagne Sainte-Geneviève, 75005 Paris). Nous essaierons de faire de même dans chacun des numéros à venir. Cet article mêlant le discours d’un mathématicien, d’un physicien et d’un probabiliste autour du thème pluridisciplinaire de la radioactivité est en fait plus une “note de cours” qu’un article proprement dit. Cela aussi est nouveau. À côté de textes apportant une contribution originale sur un point donné du cursus mathématique français, ces notes de cours, que l’on verra bientôt irriguer la RMS, ont un but différent : apporter une vision plus pédagogique que strictement scientifique, dans l’espoir qu’elles pourront être aussi bien utiles aux jeunes étudiants qu’à leurs professeurs. Notre vive reconnaissance va aussi, tout naturellement, à Michel Waldschmidt, président de la Société Mathématique de France, qui a bien voulu nous offrir un article particulièrement efficace et donnant à réfléchir sur le célèbre théorème de Bézout, utilisé par des générations de professeurs et d’ingénieurs qui ont besoin de résultats forts afin d’établir une géométrie rationnelle aussi rigoureuse que l’analyse ou l’algèbre. Il nous a été particulièrement plaisant de voir ainsi, dans le dernier numéro de l’ancienne RMS et dès le premier de la nouvelle, deux présentations de qualité, tout à fait complémentaires, autour de ce grand thème. Dès le numéro suivant, un autre mathématicien de premier plan, Jean-Pierre Demailly, montrera comment un professionnel a pu résoudre élémentairement un problème d’optimisation posé par un physicien (à propos de la conception d’écrans acoustiques pour moteurs d’avion) : de manière inattendue, c’est à la géométrie du triangle, a priori si démodée, qu’il a emprunté la réponse ! Bien sûr nous attendons de tous d’autres articles ou notes de cours, aux auteurs les plus variés, parmi lesquels nos collègue universitaires sont évidemment les bienvenus : c’est sans doute la RMS qui leur donnera, plus encore qu’aujourd’hui, leurs étudiants de demain ! D’autres rubriques, toujours appréciées de nos anciens lecteurs, ont évidemment gardé toute leur place : qu’il s’agisse des corrigés de problèmes (on trouvera ici les deux épreuves de la filière MP de l’école polytechnique 2003 ; le prochain numéro verra aussi la publication du problème de mathématiques générales de l’agrégation externe, etc.) ou des “Questions et Réponses” qui ont toujours provoqué un intérêt soutenu au sein du corps enseignant des anciennes spéciales. Afin de nourrir la rubrique bibliographique, nous demandons aux lecteurs de nous faire connaître les uploads/Litterature/ rms114-1.pdf