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Th´ eorie des ensembles Appadourai David Question 2 : 1. Donner la d´ eﬁnition

Th´ eorie des ensembles Appadourai David Question 2 : 1. Donner la d´ eﬁnition compl` ete d’un cardinal. On se place dans ZFC, on se permet donc d’utiliser l’axiome du Choix. Le th´ eor` eme de Zermelo nous dit que tout ensemble est bien ordonnable, donc en bijection avec un ordinal. Par cons´ equent chaque classes d’´ equipotence est non vide. La classe des ordinaux est bien ordonn´ ee i.e chaque sous ensemble non vide admet un plus petit ´ el´ ement. On appelle cardinal un ordinal qui est le plus petit de sa classe d’´ equipotence, c’est- a-dire qui n’est en bijection avec aucun ordinal plus petit que lui. 1 Existence des fondements uniques des math´ ematiques. Dans une lesson d’astronomie de Bertrand Russell, une vieille dame lui a pos´ e une critique en disant que en vraie, la terre ´ etait plate et c’´ etait une tortue qui la soutenait sur le dos. Russell lui a demand´ e par la suite, ”la tortue elle se tient sur quoi alors ?”. La dame lui r´ epondit ”ce sont des tortues ` a l’inﬁni”. On pourrait en dire le mˆ eme du sentiment des math´ ematiciens au debut du XXe si` ecle. Lors de la d´ ecouverte des g´ eom´ etries non-´ euclidiennes et l’axiomatisation de l’arithm´ etique par Peano, les math´ ematiciens se posaient la question sur la possibilit´ e de fonder les math´ ematique sur une base universelle, unique, et presque primitive. Depuis Aristote la logique ´ etait consid´ er´ e comme un id´ eal scientiﬁque et Leibniz au XVII si` ecle consid´ erait la possiblit´ e de construire une langue universelle et un calcul de la raison qui pourrait donner r´ eponse ` a tout probl` eme concevable. Au XIX sic` ele, Frege r´ eunit le rˆ eve de Leibniz et la science Aristot´ elicienne pour cr´ eer sur la base de la th´ eorie des ensembles de Cantor un syst` eme qui vise ` a fonder l’ensemble des math´ ematiques. N´ eanmoins en 1901 Bertrand Russell trouve une para- doxe dans le syst` eme freg´ een et par cons´ equence dans la th´ eorie de Cantor : l’axiome qui permet la construction libre des ensembles aboutit ` a des contradictions. 1 Le syst` eme de Frege s’´ ecroule mais son projet est continu´ e par d’autres. Zermelo et Fraenkel, avec l’intention d’´ eviter des nouvelles paradoxes, arrivent ` a axiomatisent le syst` eme de Cantor. Zermelo et Fraenkel n’ont pas l’int´ erˆ et de fonder les math´ ematiques. Ils cherchent plutot r´ esoudre des probl` emes d’ordre m´ etamath´ ematique comme l’ind´ ependance de axiomes. Cependant les bases de la th´ eorie de Cantor sert encore ` a Russell et White- head pour r´ ediger Principia Mathematica, un syst` eme fond´ e sur les notions de classe et de types. De mˆ eme David Hilbert tente de fonder les bases de la th´ eorie de la g´ eom´ etrie. La th´ eorie des ensembles d´ ecrit l’univers de ”tous les objets math´ ematiques”, des plus primitifs aux plus complexes tels que les diveres inﬁnit´ es. Le besoin de trouver des fondements uniques a comme origine la peur des math´ ematiciens pour l’incertitude et la possbilit´ e de d´ eriver des contradictions. Kline aﬃrme que la raison principale par la- quelle la th´ eorie des ensembles sert de fondement pour toutes les math´ ematiques est que il est possible de d´ eriver toutes les math´ ematiques ` a partir de la th´ eorie des nombres 1”. Ce qui est merveilleux dans cette th´ eorie est que le langage ensembliste est extrˆ ement simple, il compte qu’avec un seul symbole : l’appartenance ∈. Les ensembles sont aussi des concepts primitifs et construits par un petit nombre d’axiomes et r` egles. Peut-on parler des fondements uniques ? Si bien le projet de fonder les math´ ematiques est unique et insipire la plupart de d´ eveloppements math´ ematiques au d´ ebut du XXe si` ecle, on n’a qu’un approche unique au probl` eme. Aux eﬀorts de Frege Russell et White- head, Hilbert et Bernays etc, il faut en ajouter ceux qui diﬀ´ eraient de l’approche ensem- bliste et formaliste. L’´ ecole intuitioniste de Brouwer et l’approche th´ eorique-mod´ elique aux fondements des math´ ematiques nous empˆ echent de parler non seulement de fonde- ments uniques mais aussi de la possibilit´ e de fonder les math´ ematiques tout court. Aujourd’hui la th´ eorie axiomatique d’ensembles est une fondation souhait´ ee par plusieurs math´ ematiciens 2. Cependant le sens de cette fondation n’est plus le mˆ eme. La fondation souhait´ ee par Hilbert, Russell, etc consiste en un syst` eme ﬁni et res- treint d’axiomes qui suﬃssent ` a construire tout le batˆ ıment math´ ematique. En plus, ce syst` eme doit rendre compte de sa consistance, c’est-` a-dire qu’` a partir des axiomes, il doit ˆ etre impossible de d´ eriver le faux. G¨ odel a mis ﬁn ` a ce genre de projet en 1931 en d´ emontrant que aucun syst` eme d’axiome suﬃssamment puissant pour construire l’arithm´ etique ´ el´ em´ entaire n’est pas compl` ete. C’est-` a-dire qu’il y existe toujours des ´ enonc´ es arithm´ etiques qui, ´ etant vrais, ne sont pas prouvables dans le syst` eme. Russell admet dans Le d´ eveloppement de mes id´ ees philosophiques, que lorsqu’il r´ edigait Principia Mathematica il se rendit compte de l’impossibilit´ e de la tˆ ache de pouvoir trouver le syst` eme d´ esir´ e pour fonder des math´ ematiques. Russell aﬃrme qu’il voyait dans le th´ eor` eme de Cantor pour l’ensemble des parties d’un ensemble, une 1. Kline, Math´ ematiques : ﬁn de la certitude. Paris : Christian Bourgois, 1989, p. 466. 2. Kline, ibid, p. 468. 2 preuve de foi de l’existence de fondements uniques des math´ ematiques, ”Il existe plus des ensembles que des choses dans le monde”. La possiblit´ e de trouver une mani` ere de rendre compte de cet univers qui promet le paradis math´ ematique s’est vite ´ ecroul´ e . Mais selon Jean Dieudonn´ e aucun autre projet a ´ et´ e si fructif` ere dans l’histoire des math´ ematiques. ”Entre le debut du XXe si` ecle et aujourd’hui il y a eu plus des d´ ecouvertes et d´ eveloppements math´ ematiques que dans la p´ eriode entre Euclide et le XXe si` ecle”, Dieudonn´ e aﬃrme. Dans Why do we prove theorems ?, Yehuda Rav d´ efend l’id´ ee selon laquelle la pratique la plus fondamentale du math´ ematicien n’est pas celle de trouver, presque m´ ecaniquement, des d´ emonstrations ` a des th´ eor` emes. Il soutient que c’est plutˆ ot ”l’in- vention de m´ ethodes, outils, strat´ egies et concepts pour r´ esoudre des probl` emes dans l’agenda interne de la recherche ou qui sont sugg´ er´ es par une application externe” 3. Dans ce sens ce sont l’astuce et le g´ enie cr´ eatif du math´ ematicien emport´ es envers les probl` emes, qui fondent essentiellement la pratique math´ ematique. De cette mani` ere, l’impossibilit´ e de fonder les math´ ematiques de mani` ere unique n’est pas un probl` eme en soi. Plutˆ ot les fondations des math´ ematiques en tant qu’id´ eal ont marqu´ e et inspir´ e la recherche future des math´ ematiques jusqu’` a nos jours. 3. Yehuda Rav, op. cit., p.6 3 uploads/Litterature/ devoir-maison-2.pdf