J.S. Bell Th´ eorie Quantique des Champs Exp´ erimentale Traduit de : Experimen

J.S. Bell Th´ eorie Quantique des Champs Exp´ erimentale Traduit de : Experimental quantum field theory, Proceedings of the 1977 CERN-JINR school of physics, Nafplion, Greece, 22 May–4 June 1977 CERN 77-18, 20 October 1977 La th´ eorie quantique des champs ne manque pas de volumes. Quoique ni superficiel ni plat, ce cours de J.S. Bell me semble pourtant, par sa clart´ e et sa concision, combler un vide p´ edagogique et m´ eriter mieux que l’oubli. D´ epouill´ e des complications g´ eom´ etriques inh´ erentes aux spineurs, il devrait satisfaire les bientˆ ot maˆ ıtre(sse)s en physique, ex- pert(e)s en th´ eorie quantique mais frustr´ e(e)s par les graffiti feynmaniens dont les physi- cien(ne)s des particules font un usage immod´ er´ e. Bell n’´ etant plus l` a pour se d´ efendre, je me suis interdit toute modification autre que quelques corrections de coquilles, et toute addition de notes qui auraient malencontreusement alourdi l’expos´ e. le 6 avril 1998 Alain Laverne Lab. de physique nucl´ eaire couloir 24-14, 5e ´ et. Universit´ e Paris7 2 pl. Jussieu, Paris Ve SOMMAIRE R´ esum´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 La m´ ecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Les ´ equations du mouvement de Heisenberg . . . . . . . . . . . 3 Le formalisme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Le champ scalaire r´ eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Interpr´ etation en termes de particules . . . . . . . . . . . . . 11 Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 L’op´ erateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 El´ ements de matrice S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Les graphes de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 La renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Probabilit´ es de transition et sections efficaces . . . . . . . . . . 22 Le champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Vide nu et vide r´ eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Les fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Int´ egrales fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Th´ eorie de champ euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . 33 L’ind´ ependance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Les instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Les solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1 RESUME Je tente ici d’exposer ce qui me semble le minimum indispensable de th´ eorie quantique des champs qui devrait ˆ etre connu des exp´ erimentateurs cultiv´ es de physique des particules. L’adjectif «exp´ erimental» dans le titre qualifie non seulement l’auditoire vis´ e mais aussi le niveau de rigueur math´ ematique ambitionn´ e. LA MECANIQUE QUANTIQUE Commenc ¸ons par quelques points essentiels de m´ ecanique quantique ´ el´ ementaire. Con- sid´ erons un syst` eme dynamique typique n’ayant, pour simplifier, qu’un seul degr´ e de libert´ e. En m´ ecanique quantique, un ´ etat de ce genre de syst` eme est caract´ eris´ e par une fonction-d’onde Ψ(t, q) (1) d´ ependant du temps t et de la coordonn´ ee q. L’´ evolution au cours du temps est r´ egie par l’´ equation de Schr¨ odinger iℏ˙ Ψ = H Ψ, (2) o` u l’op´ erateur hamiltonien H est g´ en´ eralement une combinaison de la coordonn´ ee q et de l’op´ erateur diff´ erentiel p = ℏ i ∂ ∂q . (3) Dans ce qui suit, H sera toujours un polynˆ ome en q et p. La quantit´ e dq Ψ ∗(t, q) Ψ(t, q) (4) est suppos´ ee donner la distribution de la probabilit´ e que la coordonn´ ee ait la valeur q au temps t. La valeur moyenne de toute fonction X de q est donc :  dq Ψ ∗(t, q) X(q) Ψ(t, q), (5) l’int´ egrale ´ etant ´ etendue ` a toutes les valeurs de q. On a coutume de faire allusion ` a cette expression sous le nom de valeur moyenne de X, mˆ eme pour des X qui d´ ependent de p aussi bien que de q, et qui sont donc des op´ erateurs diff´ erentiels. Lorsque X est un op´ erateur diff´ erentiel, il semble naturel de se le repr´ esenter comme agissant sur Ψ dans (5), c’est-` a-dire :  dq Ψ ∗(t, q)  X Ψ(t, q)  . (6) Mais il est utile d’admettre aussi l’association alternative  dq  Ψ ∗(t, q) X  Ψ(t, q), (7) dans laquelle on imagine que X agit vers la gauche, “en arri` ere”, sur Ψ ∗. Pour voir comment cela peut se faire, consid´ erons, dans X, un terme de la forme : f (q) p g(q) = f ℏ i ∂ ∂q g. Dor´ enavant, nous supposerons que Ψ d´ ecroˆ ıt bien gentiment ` a l’infini. Alors, par int´ egra- tion par parties sur tout q,  dq Ψ ∗  f ℏ i ∂ ∂q g Ψ  =  dq  −ℏ i ∂ ∂q f Ψ ∗  g Ψ . 2 Cela ne fait donc aucune diff´ erence de consid´ erer que p diff´ erencie tout ce qui est ` a sa droite ou tout ce qui est ` a sa gauche — dans la mesure o` u il est bien entendu que ce dernier cas implique un changement de signe. Au prix de ce sous-entendu, l’accouplement (7) est ´ equivalent ` a (6). Moyennant ces actions “en arri` ere” implicites, l’´ equation (X Ψ)∗= X∗Ψ ∗ (8) peut s’´ ecrire, parfois plus commod´ ement, (X Ψ)∗= Ψ ∗X+, (9) o` u X+, appel´ e le conjugu´ e hermitique de X, est obtenu ` a partir de ce dernier en inversant la suite de tous les facteurs q et p et en conjuguant tous les coefficients num´ eriques. Le changement de signe qui s’introduit lorsqu’on ´ ecrit p ` a droite, plutˆ ot qu’` a gauche, est ´ equivalent ` a la conjugaison complexe de (ℏ/i)(∂/∂q). L’inversion de l’ordre, lorsqu’on ´ ecrit les q et les p du cˆ ot´ e droit, donne l’ordre des op´ erations d´ efinies par X∗. Nous aurons souvent affaire ` a des op´ erateurs X autoconjugu´ es hermitiques (ou, simplement, hermitiques), c’est-` a-dire dou´ es de la propri´ et´ e X = X+. Les op´ erateurs hermitiques ont des valeurs moyennes r´ eelles car   dq Ψ ∗X Ψ ∗ =  dq Ψ (X Ψ)∗ =  dq (X Ψ)∗Ψ =  dq Ψ ∗X+ Ψ. D’apr` es (4), la norme de Ψ,  dq Ψ ∗Ψ, (10) doit rester constante au cours du temps, de fait ´ egale ` a l’unit´ e, car elle fournit la probabilit´ e de toutes les valeurs de q. Calculons la d´ eriv´ ee de la norme par rapport au temps, ` a l’aide de l’´ equation de Schr¨ odinger (2) et de sa conjugu´ ee complexe −iℏ˙ Ψ ∗= H ∗Ψ ∗= Ψ ∗H +. (11) Ainsi : −iℏd dt  dq Ψ ∗Ψ =  dq Ψ ∗ H + −H  Ψ. (12) La constance de la norme est donc assur´ ee en imposant ` a H d’ˆ etre hermitique : H + = H . On peut r´ esoudre formellement l’´ equation de Schr¨ odinger par un d´ eveloppement de Taylor autour de t = 0, avec pour r´ esultat : Ψ(t, q) =  1 −i ℏH t + 1 2!  i ℏH t 2 + · · ·  Ψ(0, q) = e−it ℏH Ψ(0, q) , (13) uploads/Litterature/ theorie-quantique-des-champs-i.pdf

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