Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Concours National Commun – Session 2013 – Filière PSI Epreuve de Physique I 1/1

Concours National Commun – Session 2013 – Filière PSI Epreuve de Physique I 1/10 Tournez la page S.V.P.  On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées.  Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.  Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.  Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. L’épreuve se compose de deux problèmes indépendants. Problème I – Ondes acoustiques Données :  Dans tout le problème, on assimile l'air à un gaz parfait à la température 0 298 T K  et à la pression 0 P ;  Masse molaire de l'air : 1 29 . M g mol   ;  Rapport des capacités calorifiques de l'air 1,4  ;  Constante des gaz parfaits : 1 1 8,31 . . R J K mol    ;  Masse volumique de l'air à 0 T et 0 P : 3 0 1,2 . µ kg m   . Dans ce problème, on étudie la propagation unidimensionnelle suivant l'axe Ox d'ondes acoustiques dans un fluide supposé parfait. On supposera que les parois des différents tuyaux, qui interviennent tout au long de ses parties, n’exercent aucun frottement sur le fluide. On néglige les forces de pesanteur devant les forces de pression ainsi que les échanges thermiques et d'irréversibilité. I. Propagation d’une onde acoustique dans un tuyau cylindrique de section constante contenant un fluide Le fluide est contenu dans un tuyau de révolution autour de l’axe Ox dirigé par le vecteur unitaire x e , de longueur infinie et de section constante 0 S . Dans le référentiel 0( , , , , ) R O x y z t supposé galiléen, le fluide au repos à la température 0 T est caractérisé par des champs de masse volumique 0 µ et de pression 0 P uniformes et un champ de vitesse nul. figure 1 On considère une tranche de fluide qui, au repos, est comprise entre les abscisses x et x dx  . Le passage de l’onde acoustique dans le fluide s’accompagne d’un (x + dx, t) x O dx x x + dx dx' (x, t) Concours National Commun – Session 2013 – Filière PSI Epreuve de Physique I 2/10 Tournez la page S.V.P. déplacement d’ensemble des molécules contenues dans la section du fluide d’abscisse x : soit ( , ) x t  ce déplacement à l’instant t ; ainsi la tranche de fluide considérée se trouve à l’instant t entre les plans ( , ) x x t   et ( , ) x dx x dx t     (figure 1). Les champs de masse volumique ( , ) µ x t , de pression ( , ) P x t et de vitesse 1 ( , ) ( , ) x v x t v x t e  à l'instant t sont de la forme : 0 1 ( , ) ( , ) µ x t µ µ x t   , 0 1 ( , ) ( , ) P x t P p x t   et 1 ( , ) ( , ) v x t v x t  où 1( , ) p x t définit la surpression et 1( , ) µ x t est la modification de la masse volumique du fluide. On note c la vitesse de l'onde acoustique dans le fluide. Les grandeurs 1 0 ( , ) µ x t µ , 1 0 ( , ) p x t P et 1( , ) v x t c ont en tout point du fluide une valeur moyenne temporelle nulle et sont supposées a priori des infiniment petits de même ordre, ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles. On se limitera ainsi aux mouvements de faibles amplitudes et on négligera tous les infiniment petits d’ordre supérieur ou égal à deux. 1. Définir brièvement ce qu’est une onde acoustique. A quelles conditions sur sa fréquence et son intensité est-elle audible ? Quelle est la grandeur physique qui caractérise la hauteur d’un son pur ? 2. Qu’appelle-t-on onde transversale et onde longitudinale ? Donner dans chaque cas un exemple. 3. Exprimer, à l’instant t , la nouvelle épaisseur ' dx de la tranche considérée ci- dessus en fonction de dx et de l’une des dérivées de ( , ) x t  . En déduire la variation relative de volume de la tranche de fluide entre les instants O et t en fonction de x    . 4. Justifier brièvement que l'évolution de la tranche de fluide considérée est isentropique. 5. On définit le coefficient de compressibilité S  du fluide à entropie S constante par : 1 S s V V P           , V étant le volume du fluide et P sa pression. On suppose que S  reste constant pour les transformations envisagées du fluide. Montrer que l’on peut écrire 1 1 S p x      . 6. Etablir l'expression de la résultante d F des forces de pression qui agissent sur la tranche considérée, à l’instant t . Montrer que cette force est donnée par : 1 0 x p d F S dx e x   . 7. En raisonnant sur la tranche de fluide comprise au repos entre les abscisses x et x dx  , établir, en précisant la loi utilisée, que 2 1 0 2 p µ t x       . 8. Déduire des résultats précédents l’équation à laquelle satisfait le déplacement ( , ) x t  . Concours National Commun – Session 2013 – Filière PSI Epreuve de Physique I 3/10 Tournez la page S.V.P. 9. Montrer que le déplacement ( , ) x t  est solution d'une équation de propagation de D'Alembert. Dans le cas d'ondes planes, donner sans démonstration, la forme générale des solutions de cette équation et préciser leur signification. Exprimer la vitesse c de l'onde acoustique dans le fluide en fonction de 0 µ et S . 10. Montrer que la surpression 1( , ) p x t et la vitesse 1( , ) v x t satisfont à la même équation de propagation que le déplacement ( , ) x t  . 11. On admet que le modèle développé permet de décrire la propagation d'ondes acoustiques longitudinales dans l'air pour lequel la pression, la température et la masse volumique correspondent respectivement, à l'équilibre, à 0 P , 0 T et 0 µ . 11.1. Donner alors l'expression de la vitesse c en fonction de R , 0 T , M et . 11.2. Evaluer la compressibilité S  de l'air et la vitesse c du son dans l'air, à la température 0 T , d'après le modèle utilisé. 11.3. Expliquer, en donnant le schéma d'un montage expérimental, comment l’on devra procéder expérimentalement pour mesurer la vitesse c du son. 11.4. Commenter, à l'aide des résultats du modèle, les valeurs expérimentales du tableau ci-contre de la vitesse du son dans l'air. 0 T en C  c en 1 . m s  0 331 25 346 11.5. Au lieu de supposer la propagation isentropique, on aurait pu prendre l'hypothèse de Newton : la propagation du son est isotherme. Montrer que l'hypothèse de Newton revient, dans les résultats précédents établis à partir de l'hypothèse de la propagation isentropique, à faire tendre  vers 1 et en déduire la valeur numérique de la vitesse du son dans l'air à 25 C  dans l'hypothèse de Newton. Conclure. 11.6. Comment varie la vitesse du son dans l'air lorsque la masse volumique de l’air diminue mais sans variation de température (comme par exemple, dans un air humide) ? II. Propagation d’une onde acoustique sinusoïdale dans un tuyau cylindrique de section constante contenant un fluide On considère la propagation dans le fluide d’une onde plane progressive sinusoïdale de pulsation  et de module d'onde k . Les champs de surpression acoustique et de vitesse particulaire ont pour expression en notation complexe : ( ) 0 1( , ) j t kx p x t p e   et ( ) 1 0 ( , ) j t kx v x t v e   où 0 p et 0 v sont les amplitudes correspondantes. 12. Caractériser l'onde acoustique décrite par la surpression 1( , ) p x t . Déterminer l'expression de k en fonction de  et c . 13. On définit, en uploads/Litterature/ e-ph1psi2013.pdf