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HAL Id: tel-01749052 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01749052v2 Submitted on 13 Nov 2012 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Etude de la stabilité et de la stabilisation des systèmes à retard et des systèmes impulsifs Imen Ellouze To cite this version: Imen Ellouze. Etude de la stabilité et de la stabilisation des systèmes à retard et des systèmes impulsifs. Optimisation et contrôle [math.OC]. Université Paul Verlaine - Metz; Université de Sfax, 2010. Français. NNT : 2010METZ038S. tel-01749052v2 ´ Ecole doctorale IAEM Universit´ e Paul Verlaine de Metz Universit´ e de Sfax ´ Etude de la stabilit´ e et de la stabilisation des syst` emes ` a retard et des syst` emes impulsifs M´ EMOIRE pr´ esent´ e et soutenu publiquement le 15 d´ ecembre 2010 pour l’obtention du Doctorat de l’Universit´ e Paul Verlaine de Metz et de l’Universit´ e de Sfax (Sp´ ecialit´ e Math´ ematiques) par Imen Ellouze Composition du jury Pr´ esident : Hammadi Jerbi Rapporteurs : Azgal Abichou Chengzhong Xu Examinateurs : Jean-Claude Vivalda Mohamed Ali Hammami Jean-Fran¸ cois Couchouron Mohamed Chaabane Mis en page avec la classe thloria. Table des matières I Etude des systèmes à retard 1 Introduction 3 1 Généralités 7 1.1 Notions fondamentales de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Théorie de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Les systèmes perturbés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Problème de Lur'e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Introduction aux systèmes à retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.2 Solution d'un système à retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.3 Extension de la seconde méthode de Lyapunov . . . . . . . . . . 16 1.6 Analyse convexe et inégalités linéaires matricielles . . . . . . . . . . . . 18 1.6.1 Analyse convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.2 Problèmes classiques de LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.3 Complément de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.4 S-procédure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Etude des systèmes de Lur'e à retard 21 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Stabilité du système de Lur'e à retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Critère de stabilité dépendant d'un retard constant . . . . . . . 22 2.2.2 Critère de stabilité du système dépendant d'un retard variable . 23 2.2.3 Exemples numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Stabilisation du système de Lur'e à retard . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Stabilisation du système controlé à retard constant . . . . . . . . 28 2.3.2 Stabilisation dans le cas du retard variable . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 i ii Table des matières 3 Stabilité exponentielle pratique d'un système non linéaire à retard 35 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Caractérisation de la stabilité exponentielle pratique . . . . . . . . . . . 36 3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II Etude des systèmes impulsifs 47 Introduction 49 4 Sur la stabilité pratique des systèmes impulsifs à retard multiple 53 4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.1 Description du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.2 Existence des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1.3 Propriétés générales des solutions du système linéaire . . . . . . 56 4.1.4 Solution du système linéaire perturbé . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Stabilité des systèmes impulsifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2.1 Système de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2.2 Stabilité des systèmes linéaires impulsifs . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3 Stabilité pratique exponentielle du système impulsif controlé à retard multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.2 Système impulsif à retard multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3.3 Etude de la stabilité pratique des systèmes impulsifs controlés à retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3.5 Stabilisation pratique exponentielle des systèmes impulsifs contro- lés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3.6 Exemples numériques . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ ellouze-imen-smz1038-pdf.pdf