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Master Sciences, Technologies, Santé Mention Mathématiques, spécialité Enseigne

Master Sciences, Technologies, Santé Mention Mathématiques, spécialité Enseignement des mathématiques Algorithmique et graphes, thèmes du second degré Feuille TD n°1 – Exercices d’algorithmique … éléments de correction … Exercice 1. Résolution d’une équation du 1er degré Écrire un algorithme permettant de résoudre une équation à coefficients réels de la forme ax + b = 0 (a et b seront entrés au clavier). Réponse. L’algorithme est le suivant : Algorithme equationPremierDegré Algorithme equationPremierDegré Algorithme equationPremierDegré Algorithme equationPremierDegré # cet algorithme résout une équation de la forme ax + b = 0 # a et b sont entrés au clavier. variables a, b : réels début # lecture données Entrer ( a, b ) # résolution de l’équation # cas où a = 0 si ( a = 0 ) alors si ( b = 0 ) alors Afficher ( "Tous les réels sont solution" ) sinon Afficher ( "Pas de solution" ) # cas où a ≠ 0 sinon Afficher ( -b / a ) fin_si fin Exercice 2. Minimum de trois nombres Écrire un algorithme permettant d’afficher le plus petit de trois nombres entrés au clavier. Réponse. Un algorithme possible est le suivant : si a est plus petit que b, il suffit de comparer a à c… sinon, il faut comparer b à c : Algorithme minimumTroisNombres Algorithme minimumTroisNombres Algorithme minimumTroisNombres Algorithme minimumTroisNombres # cet algorithme permet d’afficher le plus petit de trois nombres # entrés au clavier. variables a, b, c : entiers naturels début # lecture données Entrer ( a, b, c ) # comparaisons si ( a < b ) alors si ( a < c ) alors Afficher ( a ) sinon Afficher ( c ) fin_si sinon si ( b < c ) alors Afficher ( b ) sinon Afficher ( c ) fin_si fin_si fin Exercice 3. Durée d’un vol d’avion Écrire un algorithme permettant de calculer la durée d’un vol d’avion, connaissant l’horaire de départ (heures et minutes) et l’horaire d’arrivée (heures et minutes), sans convertir les horaires en minutes. On suppose que le vol dure moins de 24 heures. Réponse. On effectue le calcul sans tenir compte des valeurs… et on ajuste le cas échéant. L’algorithme est alors le suivant : Algorithme duréeVolAvionSansConversion Algorithme duréeVolAvionSansConversion Algorithme duréeVolAvionSansConversion Algorithme duréeVolAvionSansConversion # cet algorithme permet de calculer la durée d’un vol d’avion # sans convertir les horaires de départ et d’arrivée en minutes. variables h_depart, m_depart, h_arrivee, m_arrivee : entiers naturels h_duree, m_duree : entiers naturels début # lecture données Entrer ( h_depart, m_depart, h_arrivee, m_arrivee ) # calcul de la durée h_duree h_arrivee – h_depart m_duree m_arrivee – m_depart # on rectifie les minutes si nécessaire si ( m_durée < 0 ) alors m_duree 60 + m_duree h_duree = h_duree - 1 fin_si # on rectifie les heures si nécessaire si ( h_duree < 0 ) alors h_duree = 24 + h_duree fin_si # affichage résultat Afficher ( h_duree, m_duree ) fin Exercice 4. Lecture d’algorithme Que fait l’algorithme suivant ? Algorithme mystèreBoucle2 Algorithme mystèreBoucle2 Algorithme mystèreBoucle2 Algorithme mystèreBoucle2 # c’est à vous de trouver ce que fait cet algorithme… variables a, b, c : entiers naturels début # lecture des données Entrer ( a, b ) # initialisation et calculs c 1 tantque ( b ≠ 0 ) faire si ( ( b mod 2 ) = 1 ) alors c c * a fin_si a a * a b b div 2 fin_tantque # affichage résultat Afficher ( c ) fin Réponse. Cet algorithme calcule la valeur de a élevé à la puissance b (exponentiation rapide). Cet algorithme utilise le même principe que le précédent : cette fois, c’est la décomposition binaire de b qui est utilisée. La variable a, elle, prend successivement les valeurs a, a2, a4, a8, etc. Lorsqu’un tour de boucle correspond à un 1 dans la décomposition binaire de b, la variable c « cumule par produit » la puissance correspondante de a. Ainsi, pour b = 21 = 24 + 22 + 20, la variable c vaudra finalement a * a4 * a16 = a1+4+16 = a21 = ab. Cet algorithme calcule donc la valeur de a à la puissance b, ce que l’on peut aisément vérifier en le faisant tourner sur un (petit) exemple… Exercice 5. Afficher les diviseurs d’un entier Écrire un algorithme permettant d’afficher les diviseurs d’un entier naturel par ordre croissant. Réponse. La boucle Pour vient encore à notre rescousse ici (notons qu’il est inutile cependant de parcourir l’intervalle [n/2 + 1, n]). Attention, si n = 0, tous les entiers divisent n !... L’algorithme est le suivant : Algorithme diviseursOrdreCroissant Algorithme diviseursOrdreCroissant Algorithme diviseursOrdreCroissant Algorithme diviseursOrdreCroissant # cet algorithme permet d’afficher les diviseurs d’un entier naturel # par ordre croissant variables n, diviseur : entiers naturels début # lecture des données Entrer ( n ) # cas où n est nul si ( n = 0 ) alors Afficher ( "Tous les entiers non nuls sont diviseurs de 0" ) # cas général sinon # boucle de parcours, si diviseur divise n, on l’affiche pour diviseur de 1 à n div 2 faire si ( n mod diviseur = 0 ) alors Afficher ( diviseur ) fin_si fin_pour Afficher ( n ) fin_si fin Exercice 6. Nombre premier Écrire un algorithme permettant de déterminer si un entier naturel entré au clavier est premier. Réponse. Il suffit de chercher un diviseur de n dans l’intervalle [2,RacineCarrée(n)]. Dès qu’un tel diviseur est trouvé, le nombre n n’est pas premier. On utilisera donc la structure tantque qui permet d’arrêter la recherche dès qu’un diviseur est découvert. L’algorithme est le suivant : Algorithme nombrePremier Algorithme nombrePremier Algorithme nombrePremier Algorithme nombrePremier # cet algorithme permet de déterminer si un entier naturel entré au clavier # est premier variables n, diviseur : entiers naturels rac : réel début # lecture des données Entrer ( n ) # initialisations rac RacineCarrée ( n ) # fonction racine carrée diviseur 2 # boucle de recherche d’un diviseur tantque ( ( n mod diviseur ≠ 0 ) et ( diviseur ≤ rac ) ) faire diviseur diviseur + 1 fin_tantque # affichage résultat si ( diviseur > rac ) alors Afficher ( "Le nombre est premier" ) sinon Afficher ( "Le nombre n’est pas premier" ) fin_si fin Exercice 7. Nombres premiers jumeaux inférieurs à 1000 Deux nombres premiers sont jumeaux si leur différence vaut 2 (par exemple, 5 et 7 sont deux nombres premiers jumeaux). Écrire un algorithme permettant d’afficher tous les couples de nombres premiers jumeaux inférieurs à 1000. Réponse. Il suffit de modifier l’algorithme précédent, en mémorisant le dernier nombre premier trouvé. On obtient alors : Algorithme nombresPremiersJumeaux Algorithme nombresPremiersJumeaux Algorithme nombresPremiersJumeaux Algorithme nombresPremiersJumeaux # cet algorithme permet d’afficher la liste de tous les nombres premiers # inférieurs à 100 variables i, n, nprec, diviseur : entiers naturels rac : réel début # initialisation nprec 2 # boucle principale pour i de 3 à 999 faire # initialisations rac RacineCarrée ( n ) # fonction racine carrée diviseur 2 # boucle de recherche d’un diviseur tantque ( ( n mod diviseur ≠ 0 ) et ( diviseur ≤ rac ) ) faire diviseur diviseur + 1 fin_tantque # si n premier si ( diviseur ≤ ≤rac ) alors # jumeau avec nprec ? si ( n – nprec = 2 ) alors Afficher ( nprec, n ) fin_si # on met à jour nprec nprec n fin_si fin_pour fin Exercice 8. Calcul du nième nombre de Fibonnacci Écrire un algorithme permettant de calculer le nombre de Fibonacci F(n) : F(0) = 0, F(1) = 1, et F(n) = F(n-1) + F(n-2). Réponse. On mémorise les valeurs de F(n) et F(n-1), que l’on maintient à jour au fur et à mesure de l’avancée du calcul… L’algorithme est le suivant : Algorithme nombreFibonacci Algorithme nombreFibonacci Algorithme nombreFibonacci Algorithme nombreFibonacci # cet algorithme permet de calculer le nombre de Fibonacci F(n) variables n, i, fibo, moins1 : entiers naturels début # lecture des données Entrer ( n ) # initialisations fibo 1 moins1 0 # test si cas simple ( n = 0 ) si ( n = 0 ) alors Afficher ( 0 ) sinon # boucle de calcul pour le cas général pour i de 2 à n faire fibo fibo + moins1 moins1 fibo – moins1 fin_pour # affichage résultat Afficher ( fibo ) fin_si fin Remarquons ici les opérations du corps de boucle pour : nous nous sommes permis d’utiliser un artifice évitant l’utilisation d’une variable supplémentaire. Si nous avons effectué par exemple 3 tours de boucles, nous avons moins1 = 2 et fibo = 3 (on a calculé F(4)). Au 4ème tour, nous faisons fibo 3 + 2 = 5, puis moins1 5 – 2 = 3, ce qui est bien correct. uploads/Litterature/ ensm-correction-feuille-td1-pdf.pdf