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Chapitre 3 : Variables aléatoires. (Séances 6- 7 et 8) FSJES-Souissi, Année uni

Chapitre 3 : Variables aléatoires. (Séances 6- 7 et 8) FSJES-Souissi, Année universitaire : 2019-2020 Groupes : …. Equipe pédagogique : …. Définition d’une variable aléatoire. Loi d’une variable aléatoire discrète. Loi d’une variable aléatoire continue. Fonction d’une variable. Couples de variables aléatoires discrètes. 3.1 Définition d’une variable aléatoire. Toute mesure d’une grandeur dont les valeurs dépendent du hasard est dite variable aléatoire (v.a.) . Elle est généralement notée X X est une application de S vers ℝ X : S ℝ s X(s) Définition Une variable aléatoire est une variable qui prend une valeur déterminée pour chaque résultat d’une épreuve aléatoire. Exemple Considérons le jeu du hasard suivant. On jette un dé. Si on obtient un 4, on gagne 100DH; si on obtient 6, on gagne 20DH; si on obtient un 3 ou un 2, on perd 50DH. Si on obtient un autre résultat, on ne perd rien mais on ne gagne rien non plus. Nous notons cette variable par X et ses valeurs { X } = { -50, 0, 20, 100 } Résultat gain 1 2 3 4 5 6 0 -50 -50 100 0 20 Remarques On peut distinguer entre les variables aléatoires quantitatives et les v.a qualitatives. Exemple d’une v.a qualitative : Interroger des gens sortants d’un supermarché sur leur CSP (catégorie socio- professionnelle). {X} = {ouvrier, cadre moyen, ….}. Exemple d’une v.a quantitative: jeu du hasard de l’Exp. Souvent, pour les v.a quantitatives n’ayant que deux valeurs possibles, on utilise un codage 0/1. On parle alors de v.a de Bernoulli ou de v.a indicatrice. Variable aléatoire discrète. Les variables aléatoires discrètes sont celles qui ne prennent que des valeurs numériques isolées. Autrement dit, elle prennent un nombre fini de valeurs ou, tout au plus, un nombre infini dénombrable de valeur (par exemple {X}={0,1,2,3,4,…}). Variable aléatoire continue. Les variables aléatoires continues prennent leurs valeurs dans un (ou plusieurs) intervalles. Par exemple, la température, le poids, le revenu, le rendement d’un actif financier. 3.2 Loi d’une variable aléatoire discrète Reprenons l’exemple du jeu de dé et calculons la probabilité de gagner 100DH : IP(X=100)=IP(obtenir un 4)= 1/6 De même IP(X=-50)=IP(obtenir un 2 ou un 3) =IP(obtenir un 2)+IP(obtenir un 3) =1/6 + 1/6 =1/3 On peut calculer ainsi les probabilités des autres gains. X -50 0 20 100 IPX 1/3 1/3 1/6 1/6 Définition La distribution de probabilité ou loi de la variable aléatoire discrète X est l’ensemble des couples (xi, ℙ(X=xi)), pour toute valeur xi prise par la variable aléatoire. Propriété Quelle que soit la v.a discrète X, la somme des probabilités associées à toutes les valeurs possibles est égale à 1  1 ) x IP(X X x i i = =   Exercice: reprenons l’exemple du jeu de dé. Calculer la probabilité d’avoir un gain strictement positif. ℙ(X>0)=? ℙ(X>0) = ℙ(X=20 ou X=100) = ℙ(X=20) + ℙ(X=100) = 1/6 + 1/6 = 1/3 Caractéristiques d’une v.a discrète: Fonction de répartition Espérance mathématique Variance L’écart-type Fonction de répartition La fonction de répartition de la variable aléatoire X est définie par : F(x) = ℙ(X < x) Remarque Il s’agit de quelque sorte, de probabilité cumulées. Nous pouvons écrire : ) x IP(X F(x) x x i i   = = EXERCICE Reprenons l’exp. jeu de dé, trouver les valeurs de la fonction de répartition F(.) de la variable X. Propriétés de la fonction de répartition F : Nous avons C’est une fonction en escaliers Si on connaît la fonction de répartition, on peut connaître la loi de probabilité ) ( ) ( ) ( 1 i i i x F x F x X P − = = + 1 ) ( 0 ,     x F R x X L’espérance mathématique d’une v.a discrète. Elle est notée E(X) , elle représente une moyenne des valeurs possibles x1,x2,…,xn de X, chacune des valeurs xi est pondérée par sa probabilité pi=IP(X=xi). C’est un indicateur de centralité   = = = = = n 1 i i i n 1 i i i .p x ) x IP(X x E(X) Exercice Donner le gain espéré du jeu de dé. La variance La variance d’une variable aléatoire discrète X, notée V(X) ou , est la moyenne pondérée des carrés des écarts ( xi – E(X)), les coefficients de pondération étant les différentes probabilités pi . C’est un indicateur de dispersion. 2 X    = = − = = − = n 1 i 2 i i n 1 i i 2 i E(X)) (x . p ) x .IP(X E(X)) (x V(X) Calculer la variance du gain. L’écart-type C’est la racine carrée de la variance. On le note 2 ) ( X X X V   = = Propriétés de l’espérance et de la variance d’une variable aléatoire Changement d’origine Changement d’échelle Transformation générale E(X+c)=E(X)+c Var(X+c)=var(X) (X+c)=(X) E(aX)= a E(X) Var(aX)=a2 Var(X) (aX)= |a| (X) E(aX+c)= a E(X)+c Var(aX+c)=a2 Var(X) (aX+c)= |a| (X) a et c étant deux constantes de ℝ V(X) = E(X2) - E2(X) Couples de variables aléatoires discrètes Loi conjointe à deux dimensions Lois marginales Lois conditionnelles Loi conjointe de deux variables aléatoires Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes dont l’ensemble des valeurs possibles sont respectivement: pour X : x1,x2,…,xm et pour Y: y1,y2,…,yn On définit la loi de probabilité conjointe des deux variables X et Y par: IP(X,Y)(xi,yj)= IP( X=xi , Y=yj) = IP((X=xi ) et (Y=yj)) pour i=1,..,m et j=1,..,n Notation IP(X,Y)(xi ,yj )= pij Propriétés 1 ) y Y , x (X IP 0 j), (i, j i Y) (X,  = =   1 ) y Y , x (X P I j i Y) (X, m 1 i n 1 j = = =  = = CT. barème 1) 10pt 2) 5pt 3) 4+1pt Considérons une urne contenant 3 boules rouges, 5 boules vertes et 2 blanches. On tire simultanément 4 boules. Soient les 2 variables aléatoires X et Y définies par: X= le nombre de boules vertes tirées Y= le nombre de boules rouge tirées 1) Déterminer la loi de probabilité conjointe P(X,Y) 2) Donner les lois marginales de X et Y 3) Calculer E(X) et V(X). X et Y sont elle indépendante? Les distributions marginales La distribution marginale de X est définie par: La distribution marginale de Y est définie par:   = = = =   Y j D y j i Y) (X, i X X i ) y Y , x (X IP ) x (X IP , D x   = = = =   X i D x j i Y) (X, j Y Y j ) y Y , x (X IP ) y (Y IP , D y Exemple Y X 0 1 2 1 2 3 0,19 0,05 0,01 0,04 0,27 0,09 0,00 0,15 0,20 PX 0,25 0,40 0,35 PY 0,23 0,47 0,30 Les lois conditionnelles Soit le couple de variables aléatoires (X,Y) ayant une loi de probabilité conjointe IP(X,Y) et des lois de probabilité marginales IPX,IPY. Supposons que IPX(X=xi )0, alors la probabilité conditionnelle de Y=yj sachant que X=xi s’est réalisé, est définie par: ) x (X IP ) y Y , x (X IP ) x X y (Y P i X j i Y) (X, i j X Y = = = = = = Propriétés Propriété 1 Quelles que soient les variables aléatoires X et Y, on a : ) y IP(Y ) y Y x IP(X ) y Y et x IP(X ) x IP(X ) x X y IP(Y ) y Y et x IP(X j j i j i i i j j i = = = = = = = = = = = = Propriété 2 (indépendance des v.a) Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si et seulement si, quelque soient les valeurs xi et yj : Propriété 3 (fonction de deux v.a) Soit Z= f (X,Y), une fonction des variables aléatoires X et Y. L’espérance de Z est donné par : ) y IP(Y ) x IP(X ) y Y et x IP(X j i j i = = = = =   ) y Y et x IP(X y , x Y)) (X, E( E(Z) j i X x Y y j i i j = = = =    ) ( f f Covariance et corrélation de deux v.a. Définition On appelle covariance entre deux variables aléatoires X et Y la quantité définie par : ( )     E(Y) E(X) y , (x y x E(X)E(Y) - E(XY) E(Y) E(X))(Y (X E Y X, Cov X x Y y j i j i i j − = = − − =     )  Définition On appelle coefficient de corrélation linéaire entre deux variables aléatoires X et Y la quantité définie par : ( ) (Y) (X) Y X, Cov Y) ρ(X,   = 3.2 Loi d’une variable uploads/Litterature/ equipe-pedagogique-proba-cours2-varalea.pdf