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Poisard C., 2006, Fiche 3, CultureMath 1 Fiche 3 : L’étude du boulier chinois 1

Poisard C., 2006, Fiche 3, CultureMath 1 Fiche 3 : L’étude du boulier chinois 1. Le principe du boulier chinois 1 2. L’étude du boulier chinois comme situation de recherche 3 2.1 Situation 1 : Le boulier, comment ça marche ? 4 2.2 Situation 2 : Peut-on enlever des boules ? 8 2.3 Situation 3 : Peut-on changer la valeur des boules ? 10 3. Une remarque importante : la non-unicité d’écriture 11 4. L’addition puis la soustraction sur le boulier chinois 12 5. La multiplication sur le boulier chinois 13 6. Une progression pour la classe 14 7. Quelques pistes pour poursuivre 15 1. Le principe du boulier chinois Le boulier chinois commercialisé Un boulier chinois fabriqué par un enfant de CM2 La trace d’un usage d’un système décimal remonte au 14ème siècle avant J.-C. en Chine, celle-ci a donc précédé l’Europe de 2 300 ans ! Pour Temple (1987) : " Une des raisons en est sans doute que l’écriture chinoise emploie des idéogrammes et non un alphabet. Un alphabet comprend nécessairement plus de neuf lettres et, si les nombres sont représentés par des lettres, on est tenté de ne pas s’arrêter après " neuf ", mais de continuer " (Temple, 1987, p 139). La numération chinoise est définie par Guitel (1975) comme une numération de position de type hybride (pour les nombres inférieurs à 105). L’écriture d’un nombre en idéogramme est très régulière et très proche du développement polynomial, par exemple 982 est représenté par les idéogrammes successifs : 9, 102, 8, 10, 2. Sans l’écriture des puissances de dix, on retombe sur une numération de position. En effet, la numération de position cache en quelque sorte les puissances de 10. Dans chaque tige, le boulier chinois possède deux quinaires (qui valent chacune cinq) et cinq unaires (qui valent chacune un). Chaque tige représente une position du système décimal : unités, dizaines, centaines, etc. en partant de la droite vers la gauche. La position zéro s’obtient lorsque les boules sont vers le cadre extérieur : celles du haut en haut et celles du bas en bas. Pour marquer un nombre on ramène les boules vers le cadre intérieur afin de déplacer les unaires et les quinaires en même temps. Il est inscrit 90 135 sur le boulier ci-dessous. On remarquera que la décomposition polynomiale de ce nombre est : 90 135 = 9104 + 0103 + 1102 + 3101 + 5100. Poisard C., 2006, Fiche 3, CultureMath 2 9 0 1 3 5 Pour mieux comprendre le principe du boulier, regardons l’exemple suivant. Comment lire ce nombre écrit sur le boulier ? Comment écrire autrement 13 dizaines ? Combien de possibilités a-t-on sur le boulier chinois ? 5 7 1 13 2 Dans les dizaines de mille, on peut échanger les cinq unaires contre une quinaire. Ensuite 13 dizaines c’est 130, on peut donc remonter les deux quinaires des dizaines et monter une unaire des centaines. Le résultat se lit alors : 57 232. Remarque sur les symboles écrits et les noms oraux des nombres et des chiffres en français : Les symboles que l’on utilise pour écrire les nombres sont très réguliers, on utilise dix symboles de 0 à 9 (les chiffres) que l’on combine pour écrire tous les nombres. Les noms des nombres en français sont eux beaucoup moins réguliers. On a nécessairement dix noms différents de 0 à 9, un nom pour 10, 102, 103, etc. mais on ne les combine pas toujours pour nommer un nombre. En effet, les noms : zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, cent, mille, million, milliard sont nécessaires. Ensuite pour nommer 11, on emploie onze à la place de dix-un qui, lui, est régulier, de même douze pour dix-deux, treize pour dix- trois, quatorze pour dix-quatre, quinze pour dix-cinq, seize pour dix-six puis dix-sept est à nouveau régulier. De 11 à 16, des noms spécifiques sont utilisés alors que l’on pourrait combiner les noms des chiffres. De 17 à 19 c’est régulier. Et puis pour 20, à nouveau on emploie vingt pour deux-dix, trente pour trois-dix, quarante pour quatre- dix, cinquante pour cinq-dix, soixante pour six-dix, soixante-dix pour sept-dix, quatre-vint pour huit-dix et quatre-vingt-dix pour neuf-dix. D’ailleurs, les septante, octante et nonante sont plus proches de la régularité que les combinaisons françaises. Pour 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 c’est irrégulier. Ensuite on a le 100, cent, deux cents (ou deux-cent)… on ne précise pas que pour le premier il n’y a qu’un cent : un- cent, ce que font les Anglo-saxons avec one-hundred. De même avec 1000, mille, Poisard C., 2006, Fiche 3, CultureMath 3 deux mille (ou deux-mille)… on ne précise pas un-mille comme one-thousand. D’ailleurs pour 10 aussi on pourrait préciser un-dix (ce qui n’est pas non plus le cas chez les Anglo-saxons). Quelle est la définition d’un dictionnaire pour les chiffres et les nombres ? De zéro à seize on trouve des définitions de la forme " vient après tel chiffre ou nombre ". De zéro à dix, la construction est bien celle-là. Mais pour la suite, d’un point de vue mathématique, onze c’est un après dix (dix-un, 10+1=1101+1100), douze c’est deux après dix (dix-deux, 10+2=1101+2100), etc. jusqu’à seize. Ensuite, les nombres réguliers ne sont pas mentionnés dans le dictionnaire. De 20 à 60 c’est 210, 310, … 610. Ensuite, on a notre fameux soixante-dix, très irrégulier qui est 60+10. Le dictionnaire ne fait pas cette remarque et donne directement la définition 710. C’est pareil pour quatre-vingts et quatre-vingt-dix construits respectivement sur 420 et 420+10 et la définition est 810 et 910. En conclusion, la distinction entre symboles écrits (en base 10) et noms parlés n’est pas claire dans un dictionnaire courant. Avec l’analyse de l’apprentissage des grands nombres en primaire, Mercier (1997) a montré que ce problème relevant de la langue concerne l’articulation entre des savoirs mathématiques et des savoirs sociaux et que ce point est presque ignoré en classe. 2. L’étude du boulier chinois comme situation de recherche Certains ouvrages scolaires de mathématiques, souvent pour le CE2, traitent du boulier comme instrument pour compter. Ces bouliers se composent alors de dix boules par tige, de différentes couleurs, et sont plus ou moins adéquats pour l’enseignement nous semble-t-il. Balacheff et Neyret (1981 et 1982)1 ont étudié le boulier chinois en explicitant en particulier la base alternée (5,2) pour l’écriture, l’addition et la soustraction. Pour nous, l’enjeu est d’approfondir la notion de numération positionnelle en base dix et de retravailler les algorithmes de calcul avec le boulier chinois. Pour cela, nous proposons d’étudier le boulier chinois comme situation de recherche. Par situation de recherche2, nous pointons l’importance d’une question de départ, facile d’accès et comportant des stratégies de résolution variées dont la résolution n’est pas immédiate. Nous insistons aussi sur l’étude du lien entre les techniques habituelles de calcul et la diversité de celles disponibles avec le boulier. Nous présentons trois3 situations de recherche, avec les trois questions de recherche suivantes : Comment ça marche ? Peut-on enlever des boules ? Peut-on changer la valeur des boules ? 1Balacheff, N. & Neyret, R. (1981). Bouliers et écriture des nombres au CM. Grand N, 25, 39-81. Balacheff, N. & Neyret, R. (1982). Bouliers et opérations au CM. Grand N, 28, 67-87. 2 Grenier, D. & Payan, C. (2003). Situations de recherche en "classe", essai de caractérisation et proposition de modélisation. Actes du séminaire national de didactique des mathématiques. Éd ARDM, 189-203. (Disponible sur www-leibniz.imag.fr/LesCahiers, Les cahiers de laboratoire Leibniz, 92). Sur la définition d’une situation de recherche, voir aussi le Chapitre 5 de la thèse. 3 Dans le texte complet de la thèse, une 4ème situation est proposée. Le boulier devient un support pour se poser de nouvelles questions qui aboutissent en particulier à un questionnement sur les bases de numération. Poisard C., 2006, Fiche 3, CultureMath 4 Nous précisons que pour la lecture qui suit, il est souhaitable de se munir d’un boulier chinois. On considère un boulier chinois (ou suan-pan) à treize tiges, les boules du haut correspondent aux rangées de deux boules et celles du bas à celles de cinq boules. En haut, on a 26 boules (132) et 65 en bas (135). Le boulier permet en particulier d’écrire, d’additionner, de soustraire des nombres d’une manière très rapide quand on maîtrise son utilisation. 2.1 Situation 1 : Le boulier, comment ça marche ? Le boulier est considéré comme un support d’activité en mathématiques, l’utilisation montrée ici n’est pas celle d’une utilisation courante, machinale comme c’est le cas lorsqu’on apprend à l’utiliser en Chine ou au Japon, depuis l’enfance. Le but est de comprendre pourquoi un tel objet est efficace pour faire des calculs et non pas d’apprendre par cœur les règles de son utilisation. En fin de primaire, la notion de numération positionnelle est souvent mal installée et constitue un obstacle concernant l’apprentissage des techniques opératoires. L’étude du boulier permet de remonter au sens mathématique en se posant des questions sur l’écriture des nombres, la uploads/Litterature/ fiche-3.pdf