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281 MODELISATION DE LA HOULE AU PORT DE BEYROUTH W. ZAKI, T. BASBOUS, R. YOUNES

281 MODELISATION DE LA HOULE AU PORT DE BEYROUTH W. ZAKI, T. BASBOUS, R. YOUNES, S. RAAD Université Libanaise, Faculté de Génie, Beyrouth, Liban Résumé : Le but de cette étude est d’établir un modèle mathématique qui décrit la propagation des vagues dans les bassins du Port de Beyrouth. Le modèle élaboré sous Matlab a pour data input les caractéristiques de la houle au large entrant dans la zone de modélisation, et en fonction des paramètres géométriques et physiques de réflexion, de diffraction et de réfraction des différents éléments du contour des bassins, déjà définies dans des routines du programme, les équations de mouvement vertical de la surface libre de l’eau sont élaborées par intégration des équations de Berkhoff. L’intérêt pratique de ce travail réside dans la possibilité d’évaluer l’atténuation des vagues en tout point du plan d’eau des bassins, ce qui permet d’optimiser la forme d’extension des quais et du brise-lames pour assurer une amplitude maximale des vagues inférieure à une certaine limite. L’approche mathématique consiste donc, dans sa première partie, à faire une étude détaillée de la houle au large avec ses différentes caractéristiques et phénomènes, suivie en deuxième partie d’une justification du choix des équations les plus adaptées à notre cas (Berkhoff), selon les conditions physiques du site étudié, pour décrire le mieux le phénomène de propagation des vagues. La troisième partie couvre le calcul, sous Matlab, des équations de la surface libre de l’eau des bassins du Port. I - LA HOULE AU LARGE Description et propriétés: Comme première approche, on limitera la notation "houle" au cas d'une répétition d'ondes quasiment symétriques et identiques. En la définissant ainsi, les crêtes très accentuées qu'on remarque la présence dans le cas réel, ne font pas partie de la houle, mais sont plutôt appelées "vagues". Les caractéristiques principales de la houle sont: La longueur d'onde "L", La période "T", La hauteur en grande profondeur: "H ", La pente de la crête: " ", La pente du creux: " ", ( ), Le plan de symétrie "P", Le niveau de repos ou de mer calme, Le niveau moyen, La célérité: "C ", (C=L/T) . Fig. I-b. Caractéristiques d'une crête. Deux grandeurs composées sont particulièrement importantes: • La première est la cambrure " " ( =H/L), " H" étant la hauteur locale. • La deuxième est le nombre d'onde " K ",(K=2 /L). 282 Classification des houles: Plusieurs modèles ont été élaborés pour décrire le phénomène de la houle. Le domaine de validité de ces différents modèles est exposé sur la figure suivante: -Les houles monochromatiques: des houles qui varient dans le temps en sinusoïde, et sont essentiellement décrites par Gerstner et Stockes. -Les houles de Miche. -Les houles cnoïdales: appelées ainsi par les savants qui en ont élaboré la formulation analytique. -Les houles solitaires: cas limite des houles conoïdales. Les différentes zones côtières: En s'approchant de la plage, la houle parcourt les zones suivantes (voir fig. I.d): - La zone de "Shoaling": Où a lieu une variation de la hauteur de la houle due à une variation de profondeur. - La zone de "surf": Caractérisée par une turbulence complexe. - La zone de "swash": Partie couverte ou découverte par l'eau en alternance. Les mouvements de la houle: 1 - La réfraction: Lors de sa progression sur des fonds de profondeurs variables, la houle subit une modification de certaines de ses caractéristiques, notamment son amplitude et sa célérité, sa période étant conservée. Cette modification, due à la variation de la profondeur, est connue sous le nom de "réfraction de la houle", et est prédominante surtout loin de la côte (zone de shoaling). Plus précisément, la réfraction agit de façon à ce que les lignes des crêtes tendent à rétablir le parallélisme avec les lignes de niveau. 2 - La diffraction : Ce phénomène se manifeste par la concentration ou la divergence des lignes de houle lors de l'affrontement d'un cap, d'une baie, d'un musoir, d'une passe ou d'autres géométries rendant non valable l'hypothèse de la propagation de l'énergie selon les normales aux crêtes, admise généralement pour la réfraction. Ce phénomène est logiquement comparable à celui observé dans le cas des ondes électromagnétiques, comme tous les deux entraînent, entre autres, une augmentation ou une atténuation de la pression locale, selon le cas. 283 3- La réflexion: La rencontre de deux ondes sinusoïdales de même amplitude se propageant en sens inverse conduit, selon le principe de superposition, à une onde résultante ayant une amplitude double, et à la formation de n uds stationnaires. Ceci est valable dans le cas d'une houle monochromatique et diffère peu de ce qu'on obtiendrait quand la houle entre en choc contre un mur vertical par exemple. Les noeuds stationnaires de vibration verticale naissent à (2m+1).L/4 du mur considéré, où "m" est un entier positif ou nul. La réflexion se produit aussi quand la houle rencontre un obstacle incliné, mais l'étude mathématique du phénomène sera compliquée par le déferlement. Une des conséquences importantes de la réflexion est l'apparition du "clapotis". On définit le "clapotis" comme étant le mouvement de l'eau résultant de la rencontre de deux houles identiques se propageant en sens inverse. Selon l'approximation mathématique adoptée, on distingue (comme pour la houle): Le clapotis monochromatique, le clapotis de Miche, le clapotis cnoïdale, la réflexion de la houle solitaire. La période d'oscillation sur place du clapotis est supposée identique à celle des houles incidente et réfléchie. 4- Le déferlement: Le déferlement se produit quand les lames atteignent une certaine cambrure limite, au delà de laquelle le profil devient instable. Il se produit alors une brisure de la partie haute du profil au travers, qui devient alors le siège d'un bouillonnement d'écume, auquel on donne le nom de "mouton". On distingue: - Le déferlement en "volute" ou "plongeant": où le profil se déforme rapidement et se dresse avant que sa partie supérieure ne plonge et se brise brutalement: - Le déferlement frontal: la partie frontale du profil se gonfle et prend un aspect moutonné. - Le déferlement glissant: la symétrie du profil est conservée et il y a formation d'écume à la partie supérieure: La houle subit, lors de sa propagation d'une zone de profondeur infinie vers la côte, plusieurs déferlements transitant de l'une à l'autre des types de classement. A proximité de la côte, il y a formation de ce qu'on appelle "rouleaux" résultants d'un déferlement répétitif des trains des crêtes. Le déferlement peut se produire aussi par choc brutal contre un obstacle, rendant impossible la formation normale du clapotis qui aurait lieu lors d'une réflexion. Plusieurs critères ont été proposés pour calculer la hauteur maximale "Hmax", à partir de laquelle la houle déferle. On en cite en particulier: - Le critère de Miche: Ce critère est valable pour des fonds plats: - Le critère de Battjes et Janssen: Battjes et Janssen ont introduit un terme correctif à l'expression de "Hmax" proposée par Miche, de façon à ce qu'elle tienne compte de la pente du fond: 284 En plus, Battjes et Janssen ont proposé un modèle du profil de la hauteur quadratique moyenne "Hrms" de la houle, tenant compte du déferlement. Ils ont introduit un terme "Qb" représentant la probabilité qu'il y ait que la houle déferle, ou ait déjà déferlé, à une profondeur donnée. Si "Hrms" est la hauteur critique, on a la relation: Connaissant: d(x) : profondeur, fonction de x; Hrms0: "root mean square" de la hauteur de la houle en profondeur infinie; T: période de la houle; K(x): nombre d'onde, fonction de x. On peut calculer Hrms(x) II - EQUATION DE LA SURFACE LIBRE DE LA HOULE Mise en équation Equation de continuité Condition de non pénétration au fond Condition dynamique en z =  Condition cinématique en z =  Relation en z = La houle d'Airy: Airy (1845) proposa une solution approchée au système décrit dans le paragraphe ci-dessus, en linéarisant l'équation de quantité de mouvement. Cette solution est valide dans l'hypothèse de linéarité, c'est à dire quand le terme (u2+w2) est négligeable devant les autres. Ceci est vrai dans les conditions suivantes: 285 C'est à dire que la solution de Airy est valable pour les ondes de petite amplitude. Le domaine de définition de la fonction est le suivant: Ne connaissant pas , les contours du domaine sont également inconnus. Dans l'hypothèse d'ondes de petite amplitude, il est possible de fixer le domaine de définition de en négligeant devant la profondeur d et la longueur d'onde L. est alors définie pour: Le problème à résoudre devient ainsi: Equation de continuité Condition de non-pénétration au fond Condition dynamique en z = 0: surface libre ( p = patm ) Relation de Poisson La solution est obtenue grâce à la méthode de séparation des variables. Plus précisément, étant données les oscillations attendues en x et t, la solution est supposée être de la forme: Pour des raisons de commodité de calcul, est recherchée sous forme complexe, seule la partie réelle étant considérée par la suite. Soit: En insérant cette expression de dans les équations ci-dessus uploads/Litterature/ houle.pdf