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HAL Id: cel-01862054 https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-01862054 Submitted on 26 Aug 2018 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. La transformée de Fourier vue sous l’angle du calcul numérique Stéphane Balac To cite this version: Stéphane Balac. La transformée de Fourier vue sous l’angle du calcul numérique. École d’ingénieur. France. 2011. cel-01862054 La transformée de Fourier vue sous l’angle du calcul numérique Stéphane BALAC UFR de Mathématiques, Université de Rennes 1 Campus de Beaulieu, CS 74205, F-35042 Rennes stephane.balac@univ-rennes1.fr Résumé. La transformée de Fourier et ses propriétés sont présentées dans de très nombreux ouvrages. Nous abordons dans ce document ce thème incontournable en sciences de l’ingénieur d’une manière moins conventionnelle à travers la problématique du calcul numérique de la transformée de Fourier d’une fonction réelle ou complexe de la variable réelle. L’objectif visé, servant de ﬁl conducteur au document, est de comprendre comment l’algorithme de transformée de Fourier rapide (Fast Fourier Transform - FFT - en anglais), qui permet de calculer de manière très eﬃcace la transformée de Fourier discrète d’une suite (ﬁnie) de valeurs, peut être exploité pour calculer la transformée de Fourier d’une fonction en un grand nombre des valeurs (imposées) de la fréquence. Mots clés. Transformée de Fourier, quadrature numérique, algorithme FFT, formule de Shannon Introduction Des renseignements très utiles sur un signal donné (d’un point de vue mathématique, une fonction réelle ou complexe de la variable réelle) peuvent être obtenus en déterminant son spectre fréquentiel. La découverte de l’intérêt de la décomposition spectrale d’un signal est due à Joseph Fourier qui a établi que tout signal périodique peut se décomposer en une somme ﬁnie ou dénombrable de signaux sinusoïdaux de fréquences et d’amplitudes constantes. C’est l’ensemble ﬁni ou dénombrable de ces fréquences qui est appelé le spectre du signal. L’outil mathématique utilisé pour obtenir cette décomposition d’un signal périodique et le spectre correspondant est celui des séries de Fourier. Dans le cas d’un signal qui n’est pas périodique, une analyse comparable du signal peut être eﬀectuée pour mettre en évidence les composantes fréquentielles principales d’un signal. On a recours dans ce cas à un outil mathématique appelé transformée de Fourier. L’analyse spectrale d’un signal numérique (pouvant être représenté par une fonction constante par morceaux) fait intervenir quant à elle un outil mathématique appelé transformée de Fourier discrète. En dehors de l’analyse spectrale d’un signal, les outils mathématiques que sont les séries de Fourier et la transformée de Fourier sont également utiles pour d’autres usages comme la résolution d’équations aux dérivées partielles, le calcul de la valeur de certaines intégrales, le calcul de la valeur de la somme de certaines séries, etc. Joseph Fourier eut au demeurant l’idée de décomposer une fonction périodique en une somme de fonctions trigonométriques pour résoudre l’équation de la chaleur. Dans ce document nous nous intéressons au calcul de la transformée de Fourier d’une fonction réelle ou complexe de la variable réelle par une approche basée sur l’utilisation de méthodes de quadrature numérique. Nous verrons comment les diﬀérents points de vue sur la transformée de Fourier que nous venons de mentionner (transformée de Fourier, transformée de Fourier discrète et décomposition en série de Fourier) se rejoignent considérés sous l’angle du calcul numérique. L’approche retenue ici, basée sur l’exploitation de formules de quadrature numérique, permettra de montrer de manière logique et constructive, comment le célèbre algorithme de transformée de Fourier rapide (algorithme FFT pour Fast Fourier Transform en anglais) permettant un calcul eﬃcace de la transformée de Fourier discrète, peut être utilisé pour le calcul de la transformée de Fourier d’une fonction intégrable ou des coeﬃcients de Fourier d’une fonction périodique. Nous verrons enﬁn comment la formule de Shannon peut elle aussi être utilisée dans le cadre du calcul de la transformée de Fourier d’une fonction. La problématique abordée dans ce document est bien entendu assez ancienne et suit de près la publication de l’algorithme FFT par James W. Cooley et John W. Tukey pour le calcul des séries de Fourier [8]. On La transformée de Fourier vue sous l’angle du calcul numérique 2 pourra consulter par exemple [1,2,16,17,21] pour l’intérêt historique lié à cette problématique du calcul numérique de la transformée de Fourier d’une fonction à partir de l’algorithme FFT. Pour les moins enclins à s’intéresser aux détails des méthodes numériques mises en œuvre dans des logiciels de calcul numérique comme matlab, 1 indiquons tout de suite que la commande fft de matlab ne calcule pas la transformée de Fourier d’une fonction, voir la ﬁgure 1. La lecture de ce document apportera tout l’éclairage nécessaire sur ce point. −6 −4 −2 0 2 4 6 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 par FFT TF exacte Figure 1. Transformée de Fourier de la fonction f : t 7→exp(−πt2) et résultat fourni par la commande matlab fft(f) où f est le tableau des valeurs prises par la fonction f aux nœuds d’une subdivision de l’intervalle de temps considéré. Table des matières 1 La transformée de Fourier 3 1.1 Déﬁnition et propriétés de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Eﬀets du fenêtrage d’une fonction sur sa transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Modélisation mathématique d’un signal 7 2.1 Signal analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Signal numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Calcul numérique de la transformée de Fourier 10 3.1 Calcul de l’intégrale de Fourier par la méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Caractéristiques de l’approximation numérique de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 Erreur d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4 Lien entre formule d’approximation des rectangles et transformée de Fourier discrète . . . . . . . . 17 4 L’algorithme FFT 18 4.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.3 Algorithme FFT pour le calcul de la transformée de Fourier d’une fonction . . . . . . . . . . . . . 20 5 Le théorème de Shannon 23 5.1 Rappel du théorème de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2 Utilisation du théorème de Shannon pour le calcul de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . 24 6 Calcul de la transformée de Fourier inverse 25 6.1 Diﬀérentes manières de calculer numériquement la transformée de Fourier inverse d’une fonction . 25 6.2 Optimisation des calculs de transformées de Fourier et de transformées de Fourier inverses . . . . . 28 uploads/Litterature/ cours-transf-fourier.pdf