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Auteur : Sylvain Hanneton (26/09/08) Vitesse (d'un objet dans l'espace) Définit

Auteur : Sylvain Hanneton (26/09/08) Vitesse (d'un objet dans l'espace) Définition intuitive La vitesse est une mesure censée dire si un objet va plus ou moins vite. Elle permet de mesurer l'évolution temporelle d'une quantité. Elle fait partie des grandeurs cinématiques. Définition mathématique de la vitesse La vitesse est la dérivée de la position de l'objet par rapport au temps (que l'on notera t). La position d'un objet est la plupart du temps la position de son centre de gravité. La position est donnée par plusieurs coordonnées. Le nombre de coordonnées dépend de la dimension de l'espace dans lequel se déplace l'objet. L'objet peut se déplacer dans un espace à deux dimensions et sera localisé par exemple par ses coordonnées x et y dans un référentiel cartésien. Dans ce cas sa vitesse sera donné par les deux composantes de son vecteur vitesse : V t= ˙ X t=[vx ,v y]=[ dx dt , dy dt ] Si l'objet se déplace dans un référentiel tridimensionnel alors sa vitesse sera donnée par un vecteur vitesse à trois composantes : V t= ˙ X t =[v x ,vy ,vz]=[ dx dt , dy dt , dz dt ] La norme de la vitesse ou vitesse « tangentielle » C'est une grandeur qui détermine « la vitesse de l'objet le long de sa trajectoire ». Elle est représentée par la norme du vecteur V c'est à dire la « longueur » du vecteur. Elle est donc donnée par la formule suivante : ∣V∣=v x 2v y 2v z 2=dx dt  2 dy dt  2 dz dt  2 Calcul numérique de la vitesse L'opération de dérivation en calcul numérique consiste en la recherche d'une estimation numérique la plus précise possible de la dérivée d'une fonction. Ce problème est bien décrit ici. Ici nous devons obtenir la dérivée de la fonction en fonction du temps t. La plupart du temps on cherche à obtenir la vitesse à partir de données issues de capteurs formant une série temporelle d'échantillons. On donnera ici deux exemples. L'un concerne des données échantillonnées (c'est à dire obtenues à fréquence fixe). L'autre concerne des données obtenues à intervalle de temps variable. Données échantillonnées : on suppose que l'on obtient grâce à un dispositif de mesure les coordonnées [xt , yt , z t ] d'un objet à une fréquence fixe f. L'intervalle de temps séparant deux mesures [xi , yi , zi] et [xi1, yi1, zi1] sera égal à la période d'échantillonnage p= 1 f . Les mesures sont donc trois séries temporelles [x1, x2, x3,... , xn] , [ y1, y 2, y3,... , y n] et [z1, z2, z3...] . Le vecteur vitesse pourra être estimé par exemple comme : Sauf mention contraire, le contenu du site est placé sous la protection de cette licence Creative Commons. 1 Auteur : Sylvain Hanneton (26/09/08)  V i=[ f⋅xi – xi−1 , f⋅yi – yi−1, f ⋅ zi – zi−1] La vitesse tangentielle sera donc : ∣V i∣= f ⋅xi−xi−1 2y i−yi−1 2zi−zi−1 2 Données échantillonnées à fréquence variable : Les échantillons sont séparés par des intervalles de temps variables qui sont enregistrés en même temps que les coordonnées de l'objet. Ces intervalles de temps seront notés [1,2,3,... ,n] . Dans ce cas on aura :  V i=[xi – xi−1 i , yi – yi−1 i , zi – zi−1 i ] et ∣V i∣=xi−xi−1 2yi−yi−1 2z i−zi−1 2 i Références ● Voir la fiche « dérivée ». ● Liens : http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse Sauf mention contraire, le contenu du site est placé sous la protection de cette licence Creative Commons. 2 uploads/Litterature/ la-vitesse.pdf