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Mathématiques Bac STI Les nombres complexes Pour bien comprendre les complexes,

Mathématiques Bac STI Les nombres complexes Pour bien comprendre les complexes, il faut voir cet objet mathématique comme un moyen simple et élégant d’opérer dans un espace à deux dimensions que l’on peut représenter par un plan. Il y a très souvent un exercice sur les complexes au bac. Pour mettre toutes les chances de son côté il faut donc s’exercer sur des problèmes de calculs complexes mais aussi sur leurs applications à la géométrie. 1. Généralités L’écriture  z xiy avec  x et  y réels est appelée forme algébrique du nombre complexe  z.  x est la partie réelle de z, notée  Re(z),  y est la partie imaginaire de  z, notée  Im(z). Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même partie réelle et même partie imaginaire. 2. Le conjugué Le conjugué d’un complexe  z xiy est le complexe  x iy noté  z. z est réel équivaut à  z z. z est imaginaire pur équivaut à  z z. zz' zz'  z.z' z.z'  zn z n Si  z 0,  1 z     1 z  z' z     z' z 3. Module et argument d’un complexe Le module d’un nombre complexe  z xiy est  z  x2 y2 . On prend un complexe  z dont la représentation dans le plan complexe est  M . On appelle alors argument de  z et on note  arg(z) toute mesure en radians, de l’angle orienté que fait  OM avec l’axe des abscisses. Attention, l’argument d’un complexe n’est pas unique.  arg(z)2k où  k  est aussi un argument de  z. z est réel équivaut à  arg(z)0 ou  arg(z). z est imaginaire pur équivaut à  arg(z)  2 ou  arg(z)  2 . Inégalité triangulaire :  zz' z z'. z.z' z.z' et  arg(z.z')arg(z)arg(z').  1 z 1 z et  arg 1 z     arg(z). Pour tout entier naturel  n non nul,  zn z n et  arg(zn)narg(z). 4. Forme exponentielle Si  z est un nombre complexe non nul,  r son module et   un argument de  z tel que  0;2  , alors l'écriture z rei est appelée forme exponentielle de  z. Pour tout réel  ,  ei1 et  arg(ei). eieiei(),  1 eiei et le conjugué de  ei est  ei. Formule de Moivre : Pour tout entier naturel non nul  n,  ei  n ein. Formules d’Euler :  cos() eiei 2 et  sin() eiei 2 . 5. Nombres complexes et transformations w est un vecteur d’affixe  b. L’écriture complexe de la translation de vecteur  w est    z a zb. k un réel non nul. L’écriture complexe de l’homothétie de centre  O et de rapport  k est    z a kz.  un réel. L’écriture complexe de la rotation de centre  O et d’angle   est    z a eiz. uploads/Litterature/ les-nombres-complexes.pdf